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00:00Die Definitionsmenge von einem Term oder einer Gleichung sind jene Zahlenwerte, die eingesetzt werden dürfen, damit der Term definiert ist.

00:09In diesem Video schauen wir uns an, wie man diese Definitionsmenge bestimmt.

00:17Schauen wir uns den Term 1, minus a hoch 2 an.

00:21Für a können wir beliebige Werte einsetzen, das gilt sowohl für 0, für negative Werte, als auch für positive Werte.

00:31Es gibt immer einen gültigen Wert.

00:34Somit kann a jede beliebige reelle Zahl sein.

00:38Der nächste Term ist die Wurzel aus 1, minus a hoch 2.

00:43Da sieht es ein bisschen anders aus.

00:45Wenn wir zum Beispiel für a, den Wert 3 einsetzen, erhalten wir die Wurzel von 1, minus 3 hoch 2, also die Wurzel von minus 8.

00:56Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen.

01:01Das heißt also, unter der Wurzel muss ein Wert stehen, der größer oder gleich 0 ist.

01:07Deshalb können wir den Radikanten, also 1, minus a hoch 2, größer gleich 0 setzen.

01:13Wenn wir bei dieser Ungleichung a hoch 2 addieren, erhalten wir, dass a hoch 2 kleiner oder gleich 1 sein muss.

01:22Dies ist für alle Werte größer gleich minus 1, und kleiner gleich 1 erfüllt.

01:29Somit ist die Definitionsmenge alle Werte von minus 1, bis plus 1.

01:34Beim nächsten Term haben wir den Bruch 1, geteilt durch 1, minus a hoch 2.

01:39Bei einem Bruch darf der Nenner nicht 0 sein, weil wir sonst eine Division durch 0 hätten.

01:47Also heißt das, der Nenner, in dem Fall 1, minus a hoch 2, darf nicht 0 sein.

01:54Wir addieren a hoch 2, und ziehen anschließend die Wurzel.

01:58Dann erhalten wir für a die Werte minus 1, und plus 1.

02:02Somit müssen wir diese beiden Zahlen aus der Definitionsmenge ausschließen, also heißt das,

02:09a ist ein Element der reellen Zahlen, ohne die beiden Elemente minus 1, und plus 1.

02:15Beim nächsten Beispiel haben wir eine Wurzel im Nenner.

02:18Einerseits darf der Radikant nicht negativ sein, also ist a ein Wert von minus 1, bis plus 1,

02:26andererseits darf die Wurzel als Ganzes nicht 0 sein, also ist a nicht minus 1, und nicht plus 1.

02:34Somit gilt für die Definitionsmenge, dass a größer minus 1, und kleiner plus 1 ist.

02:40Wenn die unbekannte Größe an mehreren Stellen des Terms vorkommt, müssen alle Bedingungen erfüllt sein.

02:47Für den ersten Teil, 2a, minus 3, haben wir keine Einschränkungen, also ist die Definitionsmenge für diesen Teil gerade alle reellen Zahlen.

02:59Beim zweiten Teil ist a unter der Wurzel.

03:03Hier gilt wieder, der Radikant muss größer gleich 0 sein.

03:08Wir setzen 16, minus a hoch 4, größer gleich 0.

03:12Wir addieren a hoch 4, und ziehen die vierte Wurzel.

03:15Wir sehen, a muss größer gleich minus 2, und kleiner gleich plus 2 sein.

03:23Beim dritten Teil ist a im Nenner.

03:26Es gilt, der Nenner darf nicht 0 sein, also darf a, minus 1 nicht 0 sein.

03:32Wir addieren 1 und sehen, dass a, nicht 1 sein darf.

03:36Also ist die Definitionsmenge für den dritten Teil alle reellen Zahlen, ohne 1.

03:43Für die Definitionsmenge des ganzen Terms müssen nun alle Bedingungen erfüllt sein.

03:49Die Definitionsmenge des gesamten Terms ist also die Schnittmenge aller Teildefinitionsmengen.

03:55Das heißt, a ist eine reelle Zahl mit den Bedingungen, dass a, größer gleich minus 2, und kleiner gleich 2 ist, und a, nicht 1 ist.

04:07Als nächstes schauen wir uns die Definitionsmenge einer Gleichung an.

04:12Um diese Definitionsmenge zu bestimmen, gehen wir nach dem gleichen System vor.

04:17Bei dieser Gleichung kommt x im ersten Nenner vor.

04:22x, minus 1 darf nicht 0 sein, also darf x nicht 1 sein.

04:28Für den zweiten Nenner gilt, x, plus 1 darf nicht 0 sein, also darf x nicht minus 1 sein.

04:35Auf der rechten Seite haben wir kein x, also gibt es dort keine weiteren Einschränkungen.

04:40Somit gilt für die gesamte Gleichung, die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen, ohne minus 1, und plus 1.

04:50Wenn die Nenner komplexer sind, wie in diesem Beispiel, werden die einzelnen Nenner zuerst faktorisiert.

04:57Beim ersten Nenner handelt es sich um eine dritte binomische Formel, also ist das x plus 5, mal x minus 5.

05:05Im zweiten Nenner können wir mit dem Zweiklammeransatz den Nenner faktorisieren zu x minus 3, mal x minus 5.

05:14Beim dritten Nenner können wir x ausklammern, also erhalten wir x, mal x plus 5.

05:21Ein Produkt ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

05:26Der erste Faktor ist x plus 5, also heißt das, dass x plus 5 nicht 0 sein darf.

05:31Also bedeutet das, x darf nicht minus 5 sein.

05:37Der zweite Faktor ist x minus 5, also darf x minus 5 nicht 0 sein.

05:43Und somit darf x nicht 5 sein.

05:46Der dritte Faktor ist x minus 3, also heißt das, x darf nicht 3 sein.

05:52Und der letzte Faktor ist x, also darf x nicht 0 sein.

05:56Somit erhalten wir für die Definitionsmenge der Gesamtgleichung, die Definitionsmenge, sind alle reellen Zahlen, ohne minus 5, 0, 3 und 5.

06:08Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.

06:14Wir können gerne eine

06:16Wir können

06:30Wir können

Definitionsmenge von Termen, Brüchen, Wurzeln und Gleichungen

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