Zum Player springen
Zum Hauptinhalt springen
Suche
Anmelden
Im Vollbildmodus anschauen
Gefällt mir
Lesezeichen
Teilen
Mehr
Zur Playliste hinzufügen
Melden
Lineare Optimierung: Getränkekosten
Mathematik - EducaNova
Folgen
vor 3 Monaten
Wir schauen uns am Beispiel von Getränke an, wie man mit linearer Optimierung die minimal möglichen Kosten berechnet.
Willkommen auf dem Kanal von EducaNova. Hier findet ihr viele Lernvideos zu Themen aus der Mathematik und der Physik auf der Sekundarstufe 2.
Kategorie
📚
Lernen
Transkript
Vollständiges Videotranskript anzeigen
00:00
Mithilfe der linearen Optimierung können Kosten minimiert werden.
00:04
In diesem Video schauen wir uns das Ganze am Beispiel eines Getränkekaufs für eine Party an.
00:13
Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet
00:17
Bei einer Party soll eine Bohle angeboten werden, die aus Prosecco und Orangensaft hergestellt wird.
00:24
Sie rechnen mit einem Mindestverbrauch von 30 Liter, wobei Sie noch 12 Liter Orangensaft vorrätig haben, die verbraucht werden sollen.
00:35
Wegen des Geschmacks sollte vom Prosecco mindestens so viel, wie vom Orangensaft enthalten sein.
00:41
Wenn der Anteil von Prosecco allerdings mehr als doppelt so hoch wie Orangensaft ist, wird das Getränk nicht optimal.
00:48
Für einen Liter Orangensaft müssen Sie 60 Rappen und für einen Liter Prosecco 7.50 Franken zahlen.
00:57
Wie viel von jedem Getränk müssen Sie für die Bohle verwenden, um möglichst günstig die Party zu feiern?
01:04
Wie hoch sind die minimalen Kosten?
01:08
Weisen wir als erstes den Variablen eine Bedeutung zu.
01:11
Dazu definieren wir x als die Anzahl Liter Prosecco und y als die Anzahl Liter Orangensaft.
01:20
Es können nur positive Mengen gekauft werden, also ist der Definitionsbereich für beide Variablen die positiven, rationalen Zahlen.
01:30
Jetzt stellen wir ein lineares Ungleichungssystem auf.
01:33
Die beiden ersten Ungleichungen erhalten wir dadurch, dass nicht eine negative Menge gekauft werden kann.
01:42
Also ist die erste Ungleichung, x ist größer oder gleich 0, und die zweite Ungleichung ist, auch y ist größer oder gleich 0.
01:52
Die dritte Ungleichung erhalten wir aus der Passage, dass der Mindestverbrauch 30 Liter beträgt.
01:58
Also erhalten wir, dass x plus y größer oder gleich 30 ist.
02:06
Wir subtrahieren x, um die Ungleichung nach y aufzulösen.
02:11
Die vierte Ungleichung erhalten wir aus dem Restvorrat.
02:16
Also erhalten wir, dass y größer oder gleich 12 ist.
02:22
Für die fünfte Ungleichung brauchen wir die Passage über das Mischverhältnis.
02:26
Daraus folgt, dass x größer oder gleich y ist.
02:32
Also ist y kleiner oder gleich x.
02:36
Die sechste Ungleichung erhalten wir aus der zweiten Aussage über das Mischverhältnis.
02:43
Also folgt, dass x kleiner oder gleich 2y ist.
02:48
Aufgelöst nach y ist y größer oder gleich 0,5x.
02:53
Mit der Zielfunktion können wir die Kosten beschreiben.
02:59
Aus dieser Passage geht hervor, dass die Kosten 7,5x plus 0,6 mal y minus 12 ist.
03:07
Auch diese Gleichung lösen wir nach y auf, indem wir zuerst die Klammern aus multiplizieren,
03:15
minus 7,5x und plus 7,2 rechnen und anschließend durch 0,6 teilen.
03:22
z plus 7,2 durch 0,6 ersetzen wir durch die Konstante k.
03:27
Somit wissen wir, dass unsere Zielfunktion eine Steigung von minus 12,5 hat.
03:35
Nun haben wir alle Angaben zusammen, um das Planungspolygon zu zeichnen.
03:40
Die erste Ungleichung sagt, dass x größer oder gleich 0 sein soll, also ist die y-Achse
03:48
die erste Randgerade.
03:50
Die zweite Ungleichung sagt, dass y größer oder gleich 0 sein soll, also ist die x-Achse
03:57
die zweite Randgerade.
03:58
Bei der dritten Ungleichung steht, dass y größer oder gleich minus x, plus 30 ist,
04:06
also schneidet die Randgerade die y-Achse bei plus 30, und hat eine Steigung von minus 1.
04:13
Bei der vierten Ungleichung steht, dass y größer oder gleich 12 ist, also zeichnen wir
04:20
eine horizontale Linie durch y, gleich 12.
04:23
Bei der fünften Ungleichung steht, dass y größer oder gleich 0,5x ist, also geht auch
04:43
diese Randgerade durch den Ursprung, und hat eine Steigung von 0,5.
04:47
Die Lösungsmenge befindet sich im ersten Quadranten oberhalb der dritten, vierten und sechsten
04:54
Randgeraden und unterhalb der fünften Randgeraden.
04:58
Die Zielfunktion zeichnen wir mit einer Steigung von minus 12,5 durch den Ursprung ein.
05:06
Wir machen eine Parallelverschiebung so weit nach oben, bis die gerade das Planungspolygon
05:11
nur noch in einem Punkt berührt.
05:14
Diesen Berührungspunkt nennen wir Pmin.
05:17
Es handelt sich um den Schnittpunkt der dritten und der fünften Randgeraden.
05:23
Nun können wir die minimalen Kosten berechnen.
05:27
Der gesuchte Punkt ist der Schnittpunkt der dritten und der fünften Randgeraden, also setzen
05:32
wir diese beiden Gleichungen gleich.
05:35
Also gibt minus x plus 30 gleich viel wie x.
05:40
Wir lösen nach x auf, indem wir zuerst x addieren und anschließend durch zwei teilen.
05:47
Das gibt für x den Wert 15.
05:51
Um y zu bestimmen, setzen wir diesen Wert in die fünfte Gleichung ein.
05:57
Ausgerechnet gibt das für y den Wert 15.
06:02
Somit hat der Punkt Pmin die Koordinaten 15 zu 15.
06:05
Zum Schluss wollen wir noch berechnen, wie hoch die minimalen Kosten sind.
06:18
Dazu setzen wir die Werte von x und y in die Zielfunktion ein.
06:23
Ausgerechnet gibt das 114 Franken 30.
06:28
Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
06:34
t
Schreibe den ersten Kommentar
Kommentar hinzufügen
Empfohlen
6:42
|
Als nächstes auf Sendung
Lineare Optimierung | Transportproblem: Mengeneinheiten
Mathematik - EducaNova
vor 3 Monaten
7:08
Lineare Optimierung
Mathematik - EducaNova
vor 3 Monaten
7:31
Lineare Optimierung: Teppiche
Mathematik - EducaNova
vor 3 Monaten
7:44
Lineare Optimierung: Landwirtschaft
Mathematik - EducaNova
vor 3 Monaten
8:04
Transportaufgabe: Kieslager
Mathematik - EducaNova
vor 3 Monaten
6:32
Lineare Optimierung: Wohnungsbau
Mathematik - EducaNova
vor 3 Monaten
6:18
Lineare Optimierung: Blumenvasen
Mathematik - EducaNova
vor 3 Monaten
7:42
Transportproblem | lineare Optimierung: Braunkohle
Mathematik - EducaNova
vor 3 Monaten
8:07
Transportproblem: Holzrohstoffe
Mathematik - EducaNova
vor 3 Monaten
3:52
Berechnung der monatlichen Stromkosten mit einer linearen Funktion
Mathematik - EducaNova
vor 3 Monaten
3:33
Kosten-, Erlös und Gewinnfunktion als lineare Funktion
Mathematik - EducaNova
vor 3 Monaten
6:32
Linearfaktorzerlegung
Mathematik - EducaNova
vor 2 Monaten
3:49
Doppeltes Ausklammern | Zweifaches Faktorisieren
Mathematik - EducaNova
vor 4 Monaten
1:20
Björk arbeitet an erstem Studioalbum seit 2022
Bang Showbiz Deutsch
vor 6 Stunden
1:10
Angelina Jolie: Neue Hauptrolle im düsteren Thriller 'Sunny'
Bang Showbiz Deutsch
vor 6 Stunden
1:29
Matthew Perry: Seine Eltern verurteilen Arzt, der am Tod des Schauspielers beteiligt war
Bang Showbiz Deutsch
vor 6 Stunden
4:48
Statistik und Wahrscheinlichkeit: Berechnungen mit Buchstabenkärtchen
Mathematik - EducaNova
vor 2 Monaten
4:11
Wahrscheinlichkeitsrechnung bei mehrstufigen Experimenten
Mathematik - EducaNova
vor 2 Monaten
1:45
Baumdiagramm & Wahrscheinlichkeit: Münzwurf Beispiel
Mathematik - EducaNova
vor 2 Monaten
2:50
Ziehen ohne Zurücklegen: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Mathematik - EducaNova
vor 2 Monaten
1:49
Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten: Wahlfach
Mathematik - EducaNova
vor 2 Monaten
2:24
Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten: Kugeln aus einer Urne ziehen
Mathematik - EducaNova
vor 2 Monaten
1:34
Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten: Karten ziehen
Mathematik - EducaNova
vor 2 Monaten
4:10
Wahrscheinlichkeit bei einstufigen Experimenten
Mathematik - EducaNova
vor 2 Monaten
2:45
Wahrscheinlichkeit Ereignisse
Mathematik - EducaNova
vor 2 Monaten
Schreibe den ersten Kommentar