00:00Mithilfe der linearen Optimierung können Kosten minimiert werden.
00:04In diesem Video schauen wir uns das Ganze am Beispiel eines Getränkekaufs für eine Party an.
00:13Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet
00:17Bei einer Party soll eine Bohle angeboten werden, die aus Prosecco und Orangensaft hergestellt wird.
00:24Sie rechnen mit einem Mindestverbrauch von 30 Liter, wobei Sie noch 12 Liter Orangensaft vorrätig haben, die verbraucht werden sollen.
00:35Wegen des Geschmacks sollte vom Prosecco mindestens so viel, wie vom Orangensaft enthalten sein.
00:41Wenn der Anteil von Prosecco allerdings mehr als doppelt so hoch wie Orangensaft ist, wird das Getränk nicht optimal.
00:48Für einen Liter Orangensaft müssen Sie 60 Rappen und für einen Liter Prosecco 7.50 Franken zahlen.
00:57Wie viel von jedem Getränk müssen Sie für die Bohle verwenden, um möglichst günstig die Party zu feiern?
01:04Wie hoch sind die minimalen Kosten?
01:08Weisen wir als erstes den Variablen eine Bedeutung zu.
01:11Dazu definieren wir x als die Anzahl Liter Prosecco und y als die Anzahl Liter Orangensaft.
01:20Es können nur positive Mengen gekauft werden, also ist der Definitionsbereich für beide Variablen die positiven, rationalen Zahlen.
01:30Jetzt stellen wir ein lineares Ungleichungssystem auf.
01:33Die beiden ersten Ungleichungen erhalten wir dadurch, dass nicht eine negative Menge gekauft werden kann.
01:42Also ist die erste Ungleichung, x ist größer oder gleich 0, und die zweite Ungleichung ist, auch y ist größer oder gleich 0.
01:52Die dritte Ungleichung erhalten wir aus der Passage, dass der Mindestverbrauch 30 Liter beträgt.
01:58Also erhalten wir, dass x plus y größer oder gleich 30 ist.
02:06Wir subtrahieren x, um die Ungleichung nach y aufzulösen.
02:11Die vierte Ungleichung erhalten wir aus dem Restvorrat.
02:16Also erhalten wir, dass y größer oder gleich 12 ist.
02:22Für die fünfte Ungleichung brauchen wir die Passage über das Mischverhältnis.
02:26Daraus folgt, dass x größer oder gleich y ist.
02:32Also ist y kleiner oder gleich x.
02:36Die sechste Ungleichung erhalten wir aus der zweiten Aussage über das Mischverhältnis.
02:43Also folgt, dass x kleiner oder gleich 2y ist.
02:48Aufgelöst nach y ist y größer oder gleich 0,5x.
02:53Mit der Zielfunktion können wir die Kosten beschreiben.
02:59Aus dieser Passage geht hervor, dass die Kosten 7,5x plus 0,6 mal y minus 12 ist.
03:07Auch diese Gleichung lösen wir nach y auf, indem wir zuerst die Klammern aus multiplizieren,
03:15minus 7,5x und plus 7,2 rechnen und anschließend durch 0,6 teilen.
03:22z plus 7,2 durch 0,6 ersetzen wir durch die Konstante k.
03:27Somit wissen wir, dass unsere Zielfunktion eine Steigung von minus 12,5 hat.
03:35Nun haben wir alle Angaben zusammen, um das Planungspolygon zu zeichnen.
03:40Die erste Ungleichung sagt, dass x größer oder gleich 0 sein soll, also ist die y-Achse
03:48die erste Randgerade.
03:50Die zweite Ungleichung sagt, dass y größer oder gleich 0 sein soll, also ist die x-Achse
03:57die zweite Randgerade.
03:58Bei der dritten Ungleichung steht, dass y größer oder gleich minus x, plus 30 ist,
04:06also schneidet die Randgerade die y-Achse bei plus 30, und hat eine Steigung von minus 1.
04:13Bei der vierten Ungleichung steht, dass y größer oder gleich 12 ist, also zeichnen wir
04:20eine horizontale Linie durch y, gleich 12.
04:23Bei der fünften Ungleichung steht, dass y größer oder gleich 0,5x ist, also geht auch
04:43diese Randgerade durch den Ursprung, und hat eine Steigung von 0,5.
04:47Die Lösungsmenge befindet sich im ersten Quadranten oberhalb der dritten, vierten und sechsten
04:54Randgeraden und unterhalb der fünften Randgeraden.
04:58Die Zielfunktion zeichnen wir mit einer Steigung von minus 12,5 durch den Ursprung ein.
05:06Wir machen eine Parallelverschiebung so weit nach oben, bis die gerade das Planungspolygon
05:11nur noch in einem Punkt berührt.
05:14Diesen Berührungspunkt nennen wir Pmin.
05:17Es handelt sich um den Schnittpunkt der dritten und der fünften Randgeraden.
05:23Nun können wir die minimalen Kosten berechnen.
05:27Der gesuchte Punkt ist der Schnittpunkt der dritten und der fünften Randgeraden, also setzen
05:32wir diese beiden Gleichungen gleich.
05:35Also gibt minus x plus 30 gleich viel wie x.
05:40Wir lösen nach x auf, indem wir zuerst x addieren und anschließend durch zwei teilen.
05:47Das gibt für x den Wert 15.
05:51Um y zu bestimmen, setzen wir diesen Wert in die fünfte Gleichung ein.
05:57Ausgerechnet gibt das für y den Wert 15.
06:02Somit hat der Punkt Pmin die Koordinaten 15 zu 15.
06:05Zum Schluss wollen wir noch berechnen, wie hoch die minimalen Kosten sind.
06:18Dazu setzen wir die Werte von x und y in die Zielfunktion ein.
06:23Ausgerechnet gibt das 114 Franken 30.
06:28Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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