00:00Eine Bruchungleichung ist eine Ungleichung, bei der die gesuchte Größe im Nenner vorkommt.
00:06In diesem Video bestimmen wir die Definitions- und die Lösungsmenge einer solchen Bruchungleichung.
00:15Wir haben hier eine Bruchungleichung, von der wir die Definitions- und die Lösungsmenge bestimmen sollen.
00:22Die Grundmenge sind dabei alle reellen Zahlen.
00:26Beginnen wir mit der Definitionsmenge.
00:30Die gesuchte Größe x kommt in einem Nenner vor.
00:34Für diesen Nenner gilt, dass er nicht Null sein darf.
00:38x darf somit nicht Null sein.
00:41Die Definitionsmenge sind somit alle reellen Zahlen ohne Null.
00:46Um die Lösungsmenge zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor.
00:51Als erstes lösen wir die Bruchungleichung nach Null auf.
00:56Das erreichen wir, indem wir die eine Seite subtrahieren.
01:00Hier subtrahieren wir x minus 3 geteilt durch x.
01:05Auf der rechten Seite der Ungleichung bleibt Null übrig.
01:10Dann faktorisieren wir die linke Seite der Bruchungleichung.
01:15Dazu machen wir die Brüche gleichnamig, das heißt, der Hauptnenner ist 4 mal x.
01:20Den ersten Bruch erweitern wir mit x, also gibt das im Zähler 3x, und den zweiten Bruch erweitern wir mit 4, also gibt das im Zähler 4 mal x minus 3.
01:32Dann schreiben wir die ganze linke Seite in einem Bruch, indem wir den ersten Zähler minus den zweiten Zähler rechnen, und das Ganze über den gemeinsamen Nenner schreiben.
01:44Anschließend multiplizieren wir die Klammern im Zähler aus.
01:47Zum Schluss fassen wir den Zähler zusammen.
01:52Die linke Seite ist nun so weit, wie möglich, faktorisiert.
01:56Es gibt nur 4 mögliche Fälle für die Vorzeichen, nämlich, dass der Zähler und der Nenner positiv sind, nur der Zähler ist positiv, nur der Nenner ist positiv, oder Zähler und Nenner sind negativ.
02:11Die Bruchungleichung ist in folgenden Fällen erfüllt.
02:14Der erste Fall ist, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner positiv sind.
02:21Der zweite Fall ist, wenn Zähler und Nenner jeweils negativ sind, denn Minus durch Minus gibt Plus.
02:30Betrachten wir zuerst den ersten Fall, bei dem sowohl Zähler als auch Nenner positiv sein sollen.
02:37Der Zähler ist positiv, wenn Minus x plus 12 größer oder gleich Null ist.
02:42Wir addieren x.
02:46x muss also kleiner oder gleich 12 sein.
02:50Der Nenner ist positiv, wenn 4x größer als Null ist.
02:55Wir dividieren durch 4.
02:57x muss also größer als Null sein.
03:01Es müssen alle Bedingungen erfüllt sein.
03:05Somit ist die Lösungsmenge für den Fall 1, alle Zahlen, die größer als Null und kleiner oder gleich 12 sind.
03:12Im zweiten Fall müssen sowohl Zähler als auch Nenner negativ sein.
03:18Also muss entsprechend x größer oder gleich 12 und kleiner als Null sein.
03:24Da keine Zahl größer oder gleich 12 und gleichzeitig kleiner als Null ist, hat der Fall 2 eine leere Lösungsmenge.
03:31Die Lösungsmenge der ursprünglichen Bruchumgleichung ist die Vereinigung aller Teillösungsmengen.
03:40In diesem Fall ist diese mit der Lösungsmenge von Fall 1 identisch.
03:43Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
Kommentare