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Mathematik - EducaNova
  • vor 5 Monaten
In diesem Video schauen wir uns Schritt für Schritt an, wie man Wurzelgleichungen lösen. Besonders achten wir dabei auf das Entstehen von Scheinlösungen.

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Transkript
00:00Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen die unbekannte Größe unter einer Wurzel steht.
00:07In diesem Video schauen wir uns an, mit welcher Strategie man solche Gleichungen lösen kann.
00:15Bei einer Wurzelgleichung werden die Wurzeln beseitigt, indem beide Seiten der Gleichung
00:20potenziert werden. Weil das Potenzieren eine nicht-äquivalente Umformung ist,
00:26können Scheinlösungen auftreten. Schauen wir uns an zwei einfachen Wurzelgleichungen an,
00:33wie man solche Gleichungen löst und wie man Scheinlösungen ausschließen kann.
00:38Beginnen wir mit der Definitionsmenge der linken Gleichung. Wurzeln können nur von nicht-negativen
00:45Zahlen gezogen werden, also muss der Radikant größer oder gleich 0 sein. Der Radikant ist 2x plus 8.
00:54Wir setzen ihn größer oder gleich 0. Um diese Ungleichung nach x aufzulösen,
01:02subtrahieren wir zuerst 8 und dividieren anschließend durch 2. Also muss x größer oder gleich minus 4
01:10sein. Bei der rechten Gleichung haben wir die gleiche Wurzel, also haben wir auch die gleiche
01:16Definitionsmenge. Machen wir mit der Gleichung selbst weiter. Um die Lösungsmenge zu bestimmen,
01:24müssen wir die Gleichung nach x auflösen. Dabei gehen wir wie folgt vor. Als erstes subtrahieren
01:32wir 4. Damit erreichen wir, dass die Wurzel separiert ist, also alleine auf einer Seite der
01:39Gleichung steht. Wir quadrieren die Gleichung, damit die Wurzel verschwindet. Wenn wir hier
01:47eine dritte Wurzel hätten, müssten wir entsprechend die Gleichung hoch 3 rechnen. Auf der linken
01:53Seite bleibt der Radikant, also 2x plus 8 übrig. Minus 4 hoch 2 gibt 16, denn minus mal minus
02:03gibt plus. Wir subtrahieren 8 und teilen die Gleichung durch 2, das gibt x gleich 4. 4 ist
02:12zwar in der Definitionsmenge enthalten, aber weil wir mit dem Quadrieren eine nicht-äquivalente
02:17Umformung durchgeführt haben, müssen wir überprüfen, ob x die ursprüngliche Gleichung erfüllt.
02:24Das machen wir, indem wir die Probe durchführen. Für die Probe setzen wir die Lösung, die wir
02:31erhalten haben, überall dort in die ursprüngliche Gleichung ein, wo x steht. Falls die Gleichung
02:38zu mehreren Lösungen führt, muss die Probe für jede Lösung einzeln durchgeführt werden.
02:45Also haben wir die Wurzel aus 2 mal 4 plus 8 plus 4 gleich 0. Diese Gleichung darf nicht
02:52umgeformt werden, sondern die Werte müssen ausgerechnet werden. Der Radikant gibt ausgerechnet 16.
03:01Die Wurzel aus 16 ist 4, also haben wir 4 plus 4 gleich 0. Diese Aussage ist falsch.
03:104 ist somit eine Scheinlösung und die Gleichung hat als Lösungsmenge eine leere Menge.
03:16Machen wir das gleiche Verfahren mit der rechten Gleichung. Wir addieren 4, um die Wurzel zu
03:22separieren. Wir quadrieren die Gleichung, subtrahieren 8 und dividieren durch 2. Auch hier erhalten wir für
03:31x den Wert 4. Für die Probe setzen wir wieder in der ursprünglichen Gleichung für x den Wert 4 ein.
03:40Wir rechnen den Radikanten aus, ziehen die Wurzel und erhalten 4 minus 4 gleich 0.
03:46Diese Aussage ist wahr. Also erfüllt hier 4 die ursprüngliche Gleichung, also ist die Lösungsmenge
03:544. Mit diesen Erkenntnissen können wir nun ein allgemeines Verfahren für das Lösen von
04:01Wurzelgleichungen aufstellen. Als erstes bestimmen wir die Definitionsmenge der Wurzelgleichung.
04:08Die Radikanten müssen größer oder gleich 0 sein. Bei mehreren Wurzeln muss dieses Verfahren mit jeder
04:16Wurzel einzeln durchgeführt werden. Die Definitionsmenge der Gesamtgleichung ist dann die
04:23Schnittmenge der einzelnen Definitionsmengen. Als nächstes wird die Wurzel separiert. Bei
04:30mehreren Wurzeln muss einfach eine davon separiert werden. Dann wird die Gleichung quadriert,
04:37bzw. hoch den Wurzelexponenten der separierten Wurzel gerechnet. Achtet darauf, dass ihr die
04:44jeweiligen Seiten der Gleichung als Gesamtes potenziert. Wenn nach dem Vereinfachen eine
04:50Wurzel übrig bleibt, dann fahrt mit Punkt 2 weiter. Punkt 2 und 3 müsst ihr gegebenenfalls
04:57so häufig wiederholen, wie es Wurzeln in der Gleichung hat. Als letztes müssen wir mit allen
05:04Lösungen einzeln die Probe machen, indem wir sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und durch
05:09Ausrechnen herausfinden, ob sie die Gleichung erfüllen. Bei Lösungen, die nicht in der
05:16Definitionsmenge sind, können wir uns die Probe sparen und die Werte direkt ausschließen.
05:22Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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