00:00Transportaufgaben können mithilfe der linearen Optimierung gelöst werden.
00:05In diesem Video schauen wir uns das Ganze am Beispiel von Holzrohstoffen an.
00:13Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet
00:16Eine Räderei betreibt auf dem Rhein Warentransporte.
00:22Es stehen verschiedene kleinere Lastkähne zur Verfügung,
00:25die entsprechend dem schwankenden Treibstoffpreis einem Kostentarif unterliegen.
00:31Momentan betragen die Kosten je Kilometer und Tonne Frachtgut vier Geldeinheiten.
00:37Die Firma pflegt seit langem eine Geschäftsbeziehung mit einem Möbelfabrikanten,
00:42der an zwei Produktionsorten P1 und P2 Spanplatten für seine Möbel produziert.
00:49Die Holzrohstoffe bezieht der Fabrikant aus zwei Sägewerken S1 und S2 entlang des Rheins.
00:55Im Sägewerk S1 sind 120 Tonnen, in S2 40 Tonnen Holzspäne vorrätig.
01:03Am Produktionsort P1 werden 90 Tonnen, in P2 40 Tonnen benötigt.
01:10Die Distanzen zwischen den Sägewerken und den Produktionsorten sind in der nachstehenden Tabelle ersichtlich.
01:16Wie sollen die Lieferungen erfolgen, dass möglichst geringe Transportkosten entstehen?
01:24Weisen wir als erstes den Variablen eine Bedeutung zu.
01:29X und Y sind die Anzahl Tonnen Holzrohstoff, die transportiert werden.
01:34Es können nur positive Mengen transportiert werden, also ist der Definitionsbereich für beide Variablen die positiven, rationalen Zahlen.
01:44In einer Tabelle halten wir alle Informationen fest.
01:49Wir haben die Sägewerke S1 und S2 und die Produktionsorte P1 und P2.
01:54X definieren wir als die Anzahl Tonnen, die von S1 nach P1 transportiert werden, und Y die Anzahl Tonnen, die von S1 nach P2 gebracht werden.
02:08S1 hat einen Vorrat von 120 Tonnen.
02:11P1 benötigt 40 Tonnen, also müssen 40, minus Y Tonnen von S2 nach P2 gebracht werden.
02:30S2 hat einen Vorrat von 40 Tonnen.
02:35Jetzt stellen wir ein lineares Ungleichungssystem auf.
02:38Die beiden ersten Ungleichungen erhalten wir dadurch, dass nicht eine negative Menge transportiert werden kann.
02:47Also ist die erste Ungleichung, X ist größer oder gleich 0, und die zweite Ungleichung ist, auch Y ist größer oder gleich 0.
02:57Die dritte Ungleichung erhalten wir dadurch, dass auch der Transport von S2 nach P1 nicht negativ sein kann,
03:04also ist 40, minus Y ist größer oder gleich 0, also ist 90, minus X, größer oder gleich 0.
03:10Wir addieren X und erhalten, dass X, kleiner oder gleich 90, ist.
03:16Die vierte Ungleichung erhalten wir dadurch, dass auch der Transport von S2 nach P2 nicht negativ sein kann,
03:23also ist 40, minus Y, größer oder gleich 0, also ist 40, minus Y, größer oder gleich 0.
03:28Wir addieren Y und erhalten, dass Y, kleiner oder gleich 40, ist.
03:35Die fünfte Ungleichung erhalten wir aus dem Vorrat in S1.
03:39Wir addieren Y, also ist Y, kleiner oder gleich minus X, plus 120.
03:54Die sechste Ungleichung erhalten wir aus dem Vorrat in S2.
03:5890, minus X, plus 40, minus Y, ist kleiner oder gleich 40, also ist Y, größer oder gleich minus X, plus 90.
04:13Mit der Zielfunktion können wir die Transportkosten beschreiben.
04:18Die Transportkosten ist die Summe der vier Transportwegen von jeweils der Distanz, mal die Anzahl transportierten Tonnen.
04:25Das ist 50, mal X, plus 50, mal Y, plus 80, mal 90, minus X, plus 60, mal 40, minus Y.
04:38Um diese Gleichung nach Y aufzulösen, multiplizieren wir zuerst die Klammern aus.
04:45Dann fassen wir die rechte Seite zusammen.
04:48Wir addieren 10Y, subtrahieren Z und dividieren anschließend durch 10.
04:53Minus Z, plus 9600, geteilt durch 10, ersetzen wir durch die Konstante K.
05:02Somit wissen wir, dass unsere Zielfunktion eine Steigung von minus 3 hat.
05:08Nun haben wir alle Angaben zusammen, um das Planungspolygon zu zeichnen.
05:13Die erste Ungleichung sagt, dass X, größer oder gleich 0 sein soll, also ist die Y-Achse die erste Randgerade.
05:23Die zweite Ungleichung sagt, dass Y, größer oder gleich 0 sein soll, also ist die X-Achse die zweite Randgerade.
05:31Bei der dritten Ungleichung steht, dass X, kleiner oder gleich 90 ist, also zeichnen wir eine senkrechte Linie durch X, gleich 90.
05:42Bei der vierten Ungleichung steht, dass Y, kleiner oder gleich 40 ist, also zeichnen wir eine horizontale Linie durch Y, gleich 40.
05:52Bei der fünften Ungleichung steht, dass Y, kleiner oder gleich minus X, plus 120 ist, also schneidet die Randgerade die Y-Achse bei plus 120, und hat eine Steigung von minus 1.
06:08Bei der sechsten Ungleichung steht, dass Y, größer oder gleich minus X, plus 90 ist, also schneidet die Randgerade die Y-Achse bei plus 90, und hat eine Steigung von minus 1.
06:21Die Lösungsmenge befindet sich im ersten Quadranten oberhalb der sechsten, unterhalb der vierten und fünften, und links von der dritten Randgeraden.
06:32Die Zielfunktion zeichnen wir mit einer Steigung von minus 3 durch den Ursprung ein.
06:39Wir machen eine Parallelverschiebung so weit nach oben, bis die gerade das Planungspolygon nur noch in einem Punkt berührt.
06:47Diesen Berührungspunkt nennen wir Pmin.
06:49Es handelt sich um den Schnittpunkt der dritten und der fünften Randgeraden.
06:56Nun können wir die minimalen Transportkosten berechnen.
07:01Der gesuchte Punkt liegt auf der dritten Randgeraden, also ist X gleich 90.
07:07Diesen Wert setzen wir in die fünfte Gleichung ein.
07:11Das gibt für Y den Wert 30.
07:14Somit hat der Punkt Pmin die Koordinaten 90 zu 30.
07:20Damit können wir den Transportplan ausfüllen.
07:24Von S1 nach P1 werden 90 Tonnen, von S1 nach P2 30 Tonnen, von S2 nach P1 0 Tonnen, und von S2 nach P2 10 Tonnen transportiert.
07:35Zum Schluss wollen wir noch berechnen, wie hoch die minimalen Transportkosten sind.
07:42Wir setzen die Werte von X und Y in die Zielfunktion ein und multiplizieren zum Schluss mit den Kosten pro Kilometer und Tonne.
07:51Ausgerechnet gibt das 26.400 Geldeinheiten.
07:57Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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