00:00Wenn Ware von verschiedenen Lagern zu verschiedenen Zielorten transportiert werden sollen, kann das mithilfe der linearen Optimierung gelöst werden.
00:09In diesem Video schauen wir uns das Ganze an einem Beispiel an.
00:16Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet
00:19Wie sollen die Mengeneinheiten von Lager A und B zu den Zielorten C und D transportiert werden, damit möglichst geringe Transportkosten entstehen?
00:32Die Transportkosten pro Mengeneinheit und Kilometer betragen A Franken.
00:38Die einzelnen Distanzen stehen in dieser Tabelle und die zu transportierenden Mengen in dieser Tabelle.
00:46Weisen wir als erstes den Variablen eine Bedeutung zu.
00:50x und y sind die Mengeneinheiten, die transportiert werden.
00:55Es können nur positive Mengen transportiert werden, also ist der Definitionsbereich für beide Variablen die positiven, rationalen Zahlen.
01:06Jetzt stellen wir ein lineares Ungleichungssystem auf.
01:11Die beiden ersten Ungleichungen erhalten wir dadurch, dass nicht eine negative Menge transportiert werden kann.
01:17Also ist die erste Ungleichung, x ist größer oder gleich 0 und die zweite Ungleichung ist, auch y ist größer oder gleich 0.
01:28Die dritte Ungleichung erhalten wir dadurch, dass auch der Transport von B nach C nicht negativ sein kann, also ist 70 minus x größer oder gleich 0.
01:39Die vierte Ungleichung erhalten wir dadurch, dass auch der Transport von B nach C nicht negativ sein kann,
01:54also ist 90 minus y größer oder gleich 0.
01:59Wir addieren y und erhalten, dass y kleiner oder gleich 90 ist.
02:05Die fünfte Ungleichung erhalten wir aus dem Vorrat in A.
02:11x plus y ist kleiner oder gleich 130.
02:15Wir subtrahieren x.
02:19Also ist y kleiner oder gleich minus x plus 130.
02:25Die sechste Ungleichung erhalten wir aus dem Vorrat in B.
02:3070 minus x plus 90 minus y ist kleiner oder gleich 90.
02:37Also ist y größer oder gleich minus x plus 70.
02:42Mit der Zielfunktion können wir die Transportkosten beschreiben.
02:48Die Transportkosten ist die Summe der vier Transportwegen von jeweils der Distanz mal die Anzahl transportierten Tonnen.
02:57Das ist 40 mal x plus 40 mal y plus 50 mal 70 minus x plus 60 mal 90 minus y.
03:07Um diese Gleichung nach y aufzulösen, multiplizieren wir zuerst die Klammern aus.
03:14Dann fassen wir die rechte Seite zusammen.
03:18Wir addieren 20y, subtrahieren z und dividieren anschließend durch 20.
03:25Minus z plus 8900 geteilt durch 20 ersetzen wir durch die Konstante k.
03:31Somit wissen wir, dass unsere Zielfunktion eine Steigung von minus 0,5 hat.
03:40Nun haben wir alle Angaben zusammen, um das Planungspolygon zu zeichnen.
03:44Die erste Ungleichung sagt, dass x größer oder gleich 0 sein soll, also ist die y-Achse die erste Randgerade.
03:54Die zweite Ungleichung sagt, dass y größer oder gleich 0 sein soll, also ist die x-Achse die zweite Randgerade.
04:03Bei der dritten Ungleichung steht, dass x kleiner oder gleich 70 ist, also zeichnen wir eine senkrechte Linie durch x gleich 70.
04:13Bei der vierten Ungleichung steht, dass y kleiner oder gleich 90 ist, also zeichnen wir eine horizontale Linie durch y gleich 90.
04:25Bei der fünften Ungleichung steht, dass y kleiner oder gleich minus x plus 130 ist, also schneidet die Randgerade die y-Achse bei plus 130 und hat eine Steigung von minus 1.
04:38Die Lösungsmenge befindet sich im ersten Quadranten oberhalb der sechsten, unterhalb der vierten und fünften und links von der dritten Randgeraden.
05:02Die Zielfunktion zeichnen wir mit einer Steigung von minus 0,5 durch den Ursprung ein.
05:11Wir machen eine Parallelverschiebung so weit nach oben, bis die gerade das Planungspolygon nur noch in einem Punkt berührt.
05:19Diesen Berührungspunkt nennen wir Pmin.
05:22Es handelt sich um den Schnittpunkt der vierten und der fünften Randgeraden.
05:26Nun können wir die minimalen Transportkosten berechnen.
05:33Der gesuchte Punkt liegt auf der vierten Randgeraden, also ist y gleich 90.
05:39Diesen Wert setzen wir in die fünfte Gleichung ein.
05:43Also ist 90 gleich minus x plus 130.
05:48Das gibt für x den Wert 40.
05:51Somit hat der Punkt Pmin die Koordinaten 40 zu 90.
05:57Damit können wir den Transportplan ausfüllen.
06:01Von a nach c werden 40, von a nach d 90, von b nach c 30 und von b nach d 0 Mengeneinheiten transportiert.
06:10Zum Schluss wollen wir noch berechnen, wie hoch die minimalen Transportkosten sind.
06:17Wir setzen die Werte von x und y in die Zielfunktion ein und multiplizieren zum Schluss mit den Kosten pro Kilometer und Tonne.
06:27Ausgerechnet gibt das 6700 mal a Franken.
06:31Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
Schreibe den ersten Kommentar