00:00Bei Wurzelgleichungen steht die unbekannte Größe unter einer Wurzel.
00:05In diesem Video lösen wir eine Wurzelgleichung mit zwei verschiedenen Wurzeln.
00:12Wir haben hier eine Wurzelgleichung, von der wir die Definitions- und die Lösungsmenge bestimmen sollen.
00:19Die Grundmenge sind dabei alle reellen Zahlen.
00:24Beginnen wir mit der Definitionsmenge.
00:26Die gesuchte Größe x kommt unter zwei Wurzeln vor.
00:32Wurzeln können nur von nicht-negativen Zahlen gezogen werden, also müssen alle Radikanten größer oder gleich 0 sein.
00:40Der erste Radikant ist x minus 4.
00:44Wir setzen ihn größer oder gleich 0.
00:47Um diese Ungleichung nach x aufzulösen, addieren wir 4.
00:53Also muss x größer oder gleich 4 sein.
00:56Der zweite Radikant, x plus 3, setzen wir ebenfalls größer oder gleich 0.
01:03Wir subtrahieren 3, also muss x größer oder gleich minus 3 sein.
01:10Für die Definitionsmenge der Gesamtgleichung müssen alle Bedingungen erfüllt sein.
01:14Das können wir zum Beispiel mit dem Zahlenstrahl herausfinden, indem wir jede Ungleichung darauf markieren.
01:23Der erste Teil, größer oder gleich 4, sieht so aus.
01:28Größer oder gleich minus 3 ist dieser Bereich.
01:33Wir sehen also, dass ab 4 alle Bereiche abgedeckt sind.
01:36Somit ist die Definitionsmenge alle reellen Zahlen, die größer oder gleich 4 sind.
01:43Machen wir mit der Gleichung selbst weiter.
01:48Um die Lösungsmenge zu bestimmen, müssen wir die Gleichung nach x auflösen.
01:54Dabei gehen wir wie folgt vor.
01:57Damit wir die Gleichung quadrieren können, muss eine Wurzel separiert sein.
02:02Das ist hier bereits der Fall.
02:04Wir quadrieren die Gleichung.
02:08Achtet darauf, dass ihr jeweils die ganze linke, bzw. rechte Seite der Gleichung quadriert,
02:14das heißt, dass wir die rechte Seite in Klammern setzen müssen.
02:19Auf der linken Seite haben wir das Quadrat einer Wurzel, also lösen sie sich gegenseitig auf,
02:25und wir erhalten einfach den Radikanten.
02:28Auf der rechten Seite der Gleichung haben wir eine Differenz,
02:31also müssen wir sie wie eine binomische Formel behandeln.
02:35Das Video unter dem Link 1 beschreibt die binomischen Formeln etwas genauer.
02:411 entspricht dabei a, die Wurzel von x, plus 3, entspricht dem b.
02:48Das Ganze sieht jetzt aus wie eine zweite binomische Formel.
02:52Diese ausgerechnet gibt a, im Quadrat, minus 2ab, plus b, im Quadrat.
02:58a ist die 1, also setzen wir diese im Quadrat ein,
03:03der nächste Summand ist 2, mal 1, mal die Wurzel,
03:06und zum Schluss addieren wir noch die Wurzel, im Quadrat.
03:111, im Quadrat gibt einfach 1.
03:14Den Faktor 1 im zweiten Summanden muss man nicht schreiben.
03:18Und schließlich ist das Quadrat der Wurzel, einfach der Radikant der Wurzel.
03:23Jetzt haben wir eine Gleichung, die nur noch eine Wurzel enthält.
03:28Wir separieren die Wurzel, indem wir 2, mal die Wurzel addieren, x, subtrahieren, und 4 addieren.
03:37Auf der linken Seite bleibt 2, mal die Wurzel, und auf der rechten Seite 8 übrig.
03:42Wir dividieren die Gleichung durch 2, damit die Wurzel vollständig separiert ist.
03:49Wir quadrieren die Gleichung, damit die Wurzel auf der linken Seite verschwindet.
03:54Dann subtrahieren wir 3.
03:5713 ist zwar in der Definitionsmenge enthalten,
04:01aber weil wir mit dem Quadrieren eine nichtäquivalente Umformung durchgeführt haben,
04:05müssen wir überprüfen, ob x, die ursprüngliche Gleichung erfüllt.
04:09Das machen wir, indem wir die Probe durchführen.
04:15Für die Probe setzen wir die Lösung, die wir erhalten haben,
04:19überall dort in die ursprüngliche Gleichung ein, wo x steht.
04:24Also haben wir die Wurzel von 13, minus 4, gleich 1, minus die Wurzel von 13, plus 3.
04:32Diese Gleichung darf nicht umgeformt werden, sondern die Werte müssen ausgerechnet werden.
04:37Auf der linken Seite haben wir die Wurzel von 9, und auf der rechten Seite 1, minus die Wurzel von 16.
04:47Ausgerechnet erhalten wir 3, gleich 1, minus 4, also 3, gleich minus 3.
04:54Diese Aussage ist falsch.
04:57Somit ist die Lösungsmenge die leere Menge.
04:59Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
05:06Ausgerechnet
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