00:00Manche Bruchgleichungen haben Formvariablen.
00:03In diesem Video bestimmen wir die Definitions- und die Lösungsmenge einer solchen Bruchgleichung.
00:12Wir haben hier eine Bruchgleichung mit Formvariablen, von der wir die Definitions- und die Lösungsmenge bestimmen sollen.
00:20Die Grundmenge sind dabei alle reellen Zahlen.
00:24Die gesuchte Größe x kommt in den Nennern vor.
00:27Als erstes faktorisieren wir die Nenner.
00:32Der erste Nenner kann nicht faktorisiert werden, also übernehmen wir den ersten Bruch unverändert.
00:39Das gleiche gilt für den zweiten Nenner.
00:42Den dritten Nenner müssen wir in zwei Schritten faktorisieren.
00:47Bei den ersten beiden Summanden können wir x ausklammern, bei den anderen beiden Summanden ein Minus b.
00:53Beim zweiten Schritt übernehmen wir die linke Seite der Gleichung wieder unverändert.
00:59Auf der rechten Seite nehmen wir den gemeinsamen Faktor x minus a nach vorne und erhalten x minus a mal das, was übrig bleibt, also x minus b.
01:11Somit sind alle Nenner so weit wie möglich faktorisiert.
01:16Für alle Nenner gilt, dass keiner der Faktoren 0 sein darf.
01:22Der Faktor x minus a gibt 0, wenn x gleich a ist.
01:27Der Faktor x minus b gibt 0, wenn x gleich b ist.
01:32Die Definitionsmenge sind somit alle reellen Zahlen, wobei x nicht gleich a oder b sein darf.
01:41Um die Lösungsmenge zu bestimmen, müssen wir die Gleichung nach x auflösen.
01:47Dabei gehen wir wie folgt vor.
01:50Als erstes multiplizieren wir die Gleichung mit dem KGV aller Nenner.
01:55Das ist bei dieser Gleichung x minus a mal x minus b.
01:59Damit erreichen wir, dass die Gleichung keine Brüche mehr enthält.
02:05Wenn wir den ersten Bruch mit dem KGV multiplizieren, können wir x minus a kürzen und es bleibt x plus b mal x minus b übrig.
02:17Beim zweiten Bruch können wir x minus b kürzen und auf der rechten Seite ist der Nenner das gleiche wie das KGV, also bleibt der Zähler übrig.
02:26Auf der linken Seite können wir die ersten beiden Klammern ausmultiplizieren, das ist eine dritte binomische Formel, und die beiden anderen Klammern bilden zusammen eine zweite binomische Formel.
02:40Die rechte Seite der Gleichung lassen wir vorerst so stehen.
02:43Fassen wir die linke Seite der Gleichung zusammen.
02:48x hoch 2 minus x hoch 2 hebt sich auf.
02:53a mal x plus a mal x gibt 2 mal a mal x.
02:58Wir addieren a hoch 2 und b hoch 2, damit auf der linken Seite keine Summanden mehr enthalten sind, die x nicht enthalten.
03:09Wir erhalten 2ax gleich 2a hoch 2.
03:14Nun können wir die Gleichung durch 2a teilen, damit wir auf der linken Seite x alleine haben.
03:20a ist nicht in der Definitionsmenge enthalten, also ist unsere Lösungsmenge die leere Menge.
03:28Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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