00:00Transportaufgaben können mithilfe der linearen Optimierung gelöst werden.
00:05In diesem Video schauen wir uns das Ganze am Beispiel von Kieslagern an.
00:12Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet
00:16Die Firma A hat zwei Kieslager A1 und A2, das Bauunternehmen B, zwei Baustellen B1 und B2.
00:25In A1 sind 375 Tonnen, in A2 210 Tonnen Kies vorrätig.
00:34Auf der Baustelle B1 werden 180 Tonnen, auf B2 390 Tonnen Kies benötigt.
00:41Die Distanz in Kilometer zwischen den Kieslager und den Baustellen ist in der folgenden Tabelle ersichtlich.
00:50Wie sollen die Lieferungen erfolgen, dass möglichst geringe Transportkosten entstehen?
00:55Die Kosten pro Tonne und Kilometer betragen 50 Rappen.
01:01Weisen wir als erstes den Variablen eine Bedeutung zu.
01:06X und Y sind die Anzahl Tonnen Kies, die transportiert werden.
01:12Es können nur positive Mengen transportiert werden, also ist der Definitionsbereich für beide Variablen die positiven, rationalen Zahlen.
01:21In einer Tabelle halten wir alle Informationen fest.
01:25Wir haben die Kieslager A1 und A2 und die Baustellen B1 und B2.
01:32X definieren wir als die Anzahl Tonnen, die von A1 nach B1 transportiert werden, und Y die Anzahl Tonnen, die von A1 nach B2 gebracht werden.
01:43A1 hat einen Vorrat von 375 Tonnen.
01:48B1 benötigt 180 Tonnen, also müssen 180, minus x Tonnen von A2 nach B1 transportiert werden.
01:58B2 benötigt 390 Tonnen, also müssen 390, minus y Tonnen von A2 nach B2 gebracht werden.
02:08A2 hat einen Vorrat von 200 und eine Tonne.
02:13Jetzt stellen wir ein lineares Ungleichungssystem auf.
02:19Die beiden ersten Ungleichungen erhalten wir dadurch, dass nicht eine negative Menge transportiert werden kann.
02:25Also ist die erste Ungleichung, x ist größer oder gleich 0, und die zweite Ungleichung ist, auch y ist größer oder gleich 0.
02:36Die dritte Ungleichung erhalten wir dadurch, dass auch der Transport von A2 nach B1 nicht negativ sein kann, also ist 180, minus x, größer oder gleich 0.
02:49Wir addieren x und erhalten, dass x, kleiner oder gleich 180, ist.
02:55Die fünfte Ungleichung erhalten wir aus dem Vorrat in A1.
03:25Wir subtrahieren x, also ist y, kleiner oder gleich minus x, plus 375.
03:38Die sechste Ungleichung erhalten wir aus dem Vorrat in A2.
03:43180, minus x, plus 390, minus y, ist kleiner, oder gleich 210.
03:50Also ist y, größer, oder gleich, minus x, plus 360.
03:59Mit der Zielfunktion können wir die Transportkosten beschreiben.
04:04Die Transportkosten ist die Summe der vier Transportwegen von jeweils der Distanz, mal die Anzahl transportierten Tonnen.
04:11Wir rechnen 110, mal x, plus 90, mal y, plus 80, mal 180, minus x, plus 70, mal 390, minus y.
04:25Um diese Gleichung nach y aufzulösen, multiplizieren wir zuerst die Klammern aus.
04:31Dann fassen wir die rechte Seite zusammen.
04:36Wir subtrahieren 30x und 41.700 und dividieren anschließend durch 20.
04:44z, minus 41.700, geteilt durch 20, ersetzen wir durch die Konstante k.
04:50Somit wissen wir, dass unsere Zielfunktion eine Steigung von minus 1,5 hat.
04:58Nun haben wir alle Angaben zusammen, um das Planungspolygon zu zeichnen.
05:04Die erste Ungleichung sagt, dass x größer, oder gleich 0 sein soll, also ist die y-Achse die erste Randgerade.
05:12Bei der dritten Ungleichung steht, dass x kleiner, oder gleich 180 ist, also zeichnen wir eine senkrechte Linie durch x, gleich 180.
05:31Bei der vierten Ungleichung steht, dass y kleiner, oder gleich 390 ist, also zeichnen wir eine horizontale Linie durch y, gleich 390.
05:45Bei der fünften Ungleichung steht, dass y kleiner, oder gleich minus x, plus 375 ist, also schneidet die Randgerade die y-Achse bei plus 375 und hat eine Steigung von minus 1.
06:01Bei der sechsten Ungleichung steht, dass y, größer, oder gleich minus x, plus 360 ist, also schneidet die Randgerade die y-Achse bei plus 360 und hat eine Steigung von minus 1.
06:17Die Lösungsmenge befindet sich im ersten Quadranten oberhalb der sechsten, unterhalb der fünften, und links von der dritten Randgeraden.
06:25Die Zielfunktion zeichnen wir mit einer Steigung von minus 1,5 durch den Ursprung ein.
06:33Wir machen eine Parallelverschiebung so weit nach oben, bis die gerade das Planungspolygon nur noch in einem Punkt berührt.
06:42Diesen Berührungspunkt nennen wir Pimin.
06:45Es handelt sich um den Schnittpunkt der ersten und der sechsten Randgeraden.
06:49Nun können wir die minimalen Transportkosten berechnen.
06:56Der gesuchte Punkt liegt auf der ersten Randgeraden, also ist x gleich 0.
07:02Diesen Wert setzen wir in die sechste Gleichung ein.
07:06Das gibt für y den Wert 360.
07:08Somit hat der Punkt Pimin die Koordinaten 0 zu 360.
07:15Damit können wir den Transportplan ausfüllen.
07:20Von A1 nach B1 werden 0 Tonnen, von A1 nach B2 360 Tonnen, von A2 nach B 180 Tonnen, und von A2 nach B 230 Tonnen transportiert.
07:33Zum Schluss wollen wir noch berechnen, wie hoch die minimalen Transportkosten sind.
07:39Wir setzen die Werte von x und y in die Zielfunktion ein und multiplizieren zum Schluss mit den Kosten pro Kilometer und Tonne.
07:49Ausgerechnet gibt das 24.450 Franken.
07:54Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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