00:00Bruchungleichungen sind Ungleichungen, bei denen die gesuchte Größe im Nenner vorkommt.
00:06Es gibt verschiedene Methoden, um solche Bruchungleichungen zu lösen.
00:11In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel die Methode mit Fallunterscheidung an.
00:19Das Beispiel, das wir uns anschauen, ist die Bruchungleichung 2 geteilt durch x minus 2 ist kleiner als 3 geteilt durch x.
00:30Beginnen wir mit der Definitionsmenge.
00:34Der linke Nenner, x minus 2, darf nicht 0 sein, also darf x nicht 2 sein.
00:41Der rechte Nenner wird 0, wenn x gleich 0 ist.
00:45Also darf x auch nicht 0 sein.
00:48Also ist die Definitionsmenge die Grundmenge, in dem Fall alle reellen Zahlen, ohne 0 und 2.
00:54Bei einer Bruchgleichung würden wir diese jetzt mit den beiden Nennern multiplizieren.
01:02Bei Ungleichungen ist das nicht möglich, weil wir nicht wissen, ob x positiv oder negativ ist, und ob wir deswegen das Ungleichheitszeichen drehen müssen, oder nicht.
01:14Wir müssten also eine Fallunterscheidung machen.
01:16Die Methode, die wir hier anschauen, geht einen anderen Weg.
01:22Als erstes sortieren wir die Ungleichung nach 0.
01:26Das erreichen wir, indem wir 3 geteilt durch x auf beiden Seiten der Ungleichung subtrahieren.
01:32Als nächstes wollen wir die linke Seite der Ungleichung so weit wie möglich in Faktoren zerlegen.
01:40Also machen wir die beiden Nenner gleichnamig, indem wir den ersten Bruch mit x und den zweiten mit x, minus 2, erweitern.
01:49Wir schreiben das Ganze als einen einzigen Bruch, indem wir den ersten Zähler, minus den zweiten Zähler, über dem gemeinsamen Nenner schreiben.
01:58Als nächstes multiplizieren wir die Klammern im Zähler aus, und fassen ihn zusammen.
02:05Den Nenner können wir so stehen lassen, weil er schon faktorisiert ist.
02:10Wir haben also unsere Bruchungleichung nach 0 aufgelöst, und faktorisiert.
02:16Die erhaltenen Faktoren sind minus x, plus 6, dann x, und der dritte Faktor ist x, minus 2.
02:23Falls einer der Faktoren noch quadratische oder höhere Glieder enthält, sollte dieser, falls möglich, noch in lineare Faktoren zerlegt werden.
02:35Bis zu diesem Schritt sind die halbgrafische Methode und die Fallunterscheidungsmethode identisch.
02:42Als nächstes nutzen wir die Eigenschaft aus, dass bei einem Produkt nur die Vorzeichen der Faktoren entscheidend sind, ob es positiv oder negativ ist.
02:51Der erste Faktor, minus x, plus 2, nennen wir mal a.
02:58Den zweiten Faktor, x, nennen wir b, und den dritten Faktor, x, minus 2, nennen wir c.
03:05Also lautet unsere Bruchungleichung neu, a, geteilt durch b, mal c, ist kleiner als 0.
03:13a, b und c, können nun positiv oder negativ sein.
03:19Es gibt insgesamt 8 Fälle.
03:21Beim ersten Fall sind alle drei Faktoren positiv, das beschreiben wir jeweils mit einem Plus vor den einzelnen Faktoren.
03:30Der nächste Fall ist, dass nur c, negativ ist, was wir mit einem Minus vor dem c, beschreiben.
03:36Die weiteren Fälle sind, nur b, b und c, negativ, nur a, negativ, a und b, negativ, a und c, negativ, und alle drei negativ.
03:49Jetzt müssen wir entscheiden, in welchen Fällen die Ungleichung erfüllt ist.
03:53Wenn alle drei Faktoren positiv sind, ist auch das Produkt positiv, also können wir den ersten Fall ausschließen.
04:03Beim zweiten Fall ist nur ein Faktor negativ, also ist auch das ganze Produkt negativ, somit ist die Ungleichung erfüllt.
04:11Das gleiche gilt beim dritten Fall.
04:13Beim vierten Fall sind zwei Faktoren negativ, Minus, mal Minus, gibt Plus, also ist die Ungleichung wiederum nicht erfüllt.
04:23Beim fünften Fall ist wieder nur ein Faktor negativ, hingegen beim sechsten und siebten Fall sind wieder zwei Faktoren negativ.
04:31Im letzten Fall haben wir drei negative Faktoren, dessen Produkt auch negativ ist.
04:38Wir haben also vier Fälle, bei denen die Ungleichung erfüllt ist, nämlich Plus, Plus, Minus, dann Plus, Minus, Plus, dann Minus, Plus, Plus, und als letztes Minus, Minus, Minus.
04:51Schauen wir uns die einzelnen Fälle etwas genauer an.
04:55Beginnen wir mit dem Fall 1.
04:57Das Plus im Zähler steht für Minus x, Plus 6, und das muss größer als 0 sein, weil wir dort ein Plus haben.
05:07Wenn wir x subtrahieren, sehen wir, dass x, kleiner als 6 sein muss.
05:13Der erste Faktor im Nenner steht für x, das, wegen dem Plus, größer als 0 sein muss.
05:19Also ist x, größer als 0.
05:22Der zweite Faktor im Nenner steht für x, Minus 2, das, wegen dem Minus, kleiner als 0 ist.
05:30Wenn wir 2 addieren, sehen wir, dass x, kleiner als 2 ist.
05:36Damit der Fall 1 auch so eintrifft, müssen alle drei Bedingungen erfüllt sein.
05:40Um sich das besser vorstellen zu können, kann der Zahlenstrahl weiterhelfen.
05:47x, muss kleiner als 6 sein, was auf dem Zahlenstrahl von Minus unendlich, bis 6 reicht.
05:55Dabei zeigt die Klammer von 6 weg, weil die Grenze nicht dazu gehört.
06:00Dann muss x, größer als 0 sein, was auf dem Zahlenstrahl so aussieht.
06:04Und als letztes muss x, kleiner als 2 sein, das sieht dann so aus.
06:11Als nächstes schauen wir, welchen Teil des Zahlenstrahls von allen drei Bedingungen abgedeckt ist.
06:18Das ist der Bereich zwischen 0 und 2.
06:22Somit lautet die Lösungsmenge für den Fall 1, x, ist größer als 0 und kleiner als 2.
06:28Für die anderen drei Fälle gehen wir nach dem gleichen System vor.
06:34Wir können aber die Eigenschaft ausnutzen, dass wir, je nach Fall, nur das größer, bzw. kleiner Zeichen umdrehen müssen.
06:44Beim Fall 2 hat der Zähler das gleiche Vorzeichen, also bleibt x, kleiner als 6.
06:50Die Nenner haben die umgekehrten Vorzeichen, also wechseln auch die Ungleichheitszeichen.
06:55So muss x, kleiner als 0 und größer als 2 sein.
07:01Eine Zahl kann nicht gleichzeitig kleiner als 0 und größer als 2 sein, also ist die Lösungsmenge für den Fall 2 die leere Menge.
07:11Beim dritten Fall gibt es, dass x, größer als 6, größer als 0 und größer als 2 sein muss.
07:19Also ist die Lösungsmenge für den Fall 3, x, ist größer als 6.
07:23Und als letztes der Fall 4.
07:27x, muss größer als 6 sein und kleiner als 0.
07:32Der letzte Faktor spielt hier keine Rolle, weil schon die ersten beiden Bedingungen nicht gleichzeitig erfüllt werden können.
07:40Somit ist auch die Lösungsmenge für den Fall 4 die leere Menge.
07:43Damit die Ungleichung erfüllt ist, muss nur einer dieser vier Fälle eintreten, also ist die Gesamtlösungsmenge die Vereinigung dieser vier Teillösungsmengen.
07:55Somit lautet die Lösungsmenge, x ist ein Element der reellen Zahlen, mit der Bedingung, dass x, größer als 0 und kleiner als 2 ist, oder, dass x, größer als 6 ist.
08:07Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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