In diesem Video wird die Lösung einer Bruchgleichung vorgestellt, bei der die gesuchte Variable im Nenner vorkommt. Zunächst wird die Definitionsmenge ermittelt. Anschliessend wird die Bruchgleichung gelöst, indem beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner multipliziert werden, um die Brüche zu eliminieren.
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00:00Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, bei der die unbekannte Größe im Nenner vorkommt.
00:06In diesem Video bestimmen wir die Definitions- und die Lösungsmenge einer solchen Bruchgleichung.
00:15Wir haben hier eine Gleichung, von der wir die Definitions- und die Lösungsmenge bestimmen sollen.
00:21Die Grundmenge sind dabei alle reellen Zahlen.
00:25Die gesuchte Größe A kommt in den Nennern vor.
00:30Der erste und der dritte Nenner sind identisch.
00:33Bei beiden gilt, A plus 2 darf nicht 0 sein, also darf A nicht minus 2 sein.
00:41Im zweiten Nenner steht A, also darf A auch nicht 0 sein.
00:46Die Definitionsmenge sind somit alle reellen Zahlen ohne minus 2 und 0.
00:51Um die Lösungsmenge zu bestimmen, müssen wir die Gleichung nach A auflösen.
00:58Dabei gehen wir wie folgt vor.
01:00Als erstes multiplizieren wir die Gleichung mit dem KGV aller Nenner.
01:06Das ist bei dieser Gleichung A mal Klammer A plus 2.
01:11Damit erreichen wir, dass die Gleichung keine Brüche mehr enthält.
01:14Beim ersten Summanden nehmen wir 1, geteilt durch den Nenner, also A plus 2 und multiplizieren mit A mal Klammer A plus 2, das gibt A, und multiplizieren mit dem Zähler, also mal A plus 10.
01:291 über A mal A mal Klammer A plus 2, gibt A plus 2 und den Zähler, 5, multiplizieren wir an.
01:39Und noch 1 über A plus 2 mal A mal Klammer A plus 2, gibt A, und den Zähler, A plus 10, wird auch anmultipliziert.
01:50Die Klammer auf der linken Seite der Gleichung gibt ausgerechnet A hoch 2, plus 10 A.
01:57Die erste Klammer auf der rechten Seite gibt ausgerechnet 5 A plus 10, und die zweite gibt A hoch 2, plus 10 A.
02:07Wir können die Gleichung minus A hoch 2 rechnen, damit verschwindet A hoch 2.
02:13Die 10 A auf der linken Seite bleiben so stehen.
02:18Fassen wir die rechte Seite der Gleichung zusammen.
02:235 A plus 10 A gibt 15 A.
02:26Die 10 auf der rechten Seite bleibt auch so stehen.
02:31Wir subtrahieren 15 A, damit A auf der rechten Seite der Gleichung verschwindet.
02:36Das gibt auf der linken Seite der Gleichung minus 5 A, und auf der rechten Seite bleibt 10 übrig.
02:45Nun können wir die Gleichung durch minus 5 teilen, damit wir auf der linken Seite A alleine haben.
02:52Das gibt A gleich minus 2.
02:55Minus 2 ist nicht in der Definitionsmenge enthalten, also ist unsere Lösungsmenge die leere Menge.
03:01Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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