00:00Reinigungskosten können mithilfe der linearen Optimierung minimiert werden.
00:05In diesem Video schauen wir uns das Ganze am Beispiel der Reinigung eines Teppichbodens an.
00:13Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet
00:17Die Bodenfläche einer Schulhaus-Aula beträgt 8000 Quadratmeter und soll mit zwei verschiedenen Teppichen ausgelegt werden.
00:26Der graue kostet 20 Franken pro Quadratmeter, der blaue 30 Franken pro Quadratmeter.
00:34Die Reinigungskosten pro Jahr sind beim grauen nur halb so groß wie beim blauen Teppich, bei dem sie 3 Franken pro Quadratmeter kosten.
00:43Es soll höchstens doppelt so viel grauer wie blauer Teppich eingesetzt werden.
00:48Wie ist die Auswahl zu treffen, wenn für die Gesamtkosten 165.000 Franken bis 225.000 Franken eingeplant sind und die Reinigungskosten möglichst klein gehalten werden sollen?
01:03Weisen wir als erstes den Variablen eine Bedeutung zu.
01:08Vom grauen Teppich werden x Quadratmeter und vom blauen Teppich werden y Quadratmeter verlegt.
01:15Es können nur positive Flächen verlegt werden, also ist der Definitionsbereich für beide Variablen die positiven, rationalen Zahlen.
01:26Jetzt stellen wir ein lineares Ungleichungssystem auf.
01:30Die beiden ersten Ungleichungen erhalten wir dadurch, dass nicht eine negative Fläche verlegt werden kann.
01:36Also ist die erste Ungleichung, x ist größer oder gleich 0, und die zweite Ungleichung ist, auch y ist größer oder gleich 0.
01:48Die dritte Gleichung erhalten wir aus der Passage, dass die Fläche 8000 Quadratmeter beträgt.
01:55Also erhalten wir, dass x plus y gleich 8000 ist.
02:01Wir subtrahieren x, um die Gleichung nach y aufzulösen.
02:05Die vierte Ungleichung erhalten wir aus der unteren Kostengrenze.
02:11Aus dieser Passage folgt, dass 20x plus 30y größer oder gleich 165000 ist.
02:20Wir subtrahieren 20x und dividieren durch 30, um die Ungleichung nach y aufzulösen.
02:27Die fünfte Ungleichung erhalten wir aus der oberen Kostengrenze.
02:31Aus dieser Passage folgt, dass 20x plus 30y kleiner oder gleich 225000 ist.
02:42Wir subtrahieren 20x und dividieren durch 30, um die Ungleichung nach y aufzulösen.
02:49Die sechste Ungleichung erhalten wir aus der Aussage über das Verhältnis.
02:54Also folgt, dass x kleiner oder gleich 2y ist.
03:00Aufgelöst nach y ist y größer oder gleich 0,5x.
03:07Mit der Zielfunktion können wir die Reinigungskosten beschreiben.
03:11Aus dieser Passage geht hervor, dass die Kosten 1,5x plus 3y sind.
03:19Auch diese Gleichung lösen wir nach y auf, indem wir zuerst minus 1,5x rechnen und anschließend durch 3 teilen.
03:29z durch 3 ersetzen wir durch die Konstante k.
03:32Somit wissen wir, dass unsere Zielfunktion eine Steigung von minus 0,5 hat.
03:40Nun haben wir alle Angaben zusammen, um das Planungspolygon zu zeichnen.
03:45Die erste Ungleichung sagt, dass x größer oder gleich 0 sein soll, also ist die y-Achse die erste Randgerade.
03:55Die zweite Ungleichung sagt, dass y größer oder gleich 0 sein soll, also ist die x-Achse die zweite Randgerade.
04:03Bei der dritten Gleichung steht, dass y gleich minus x plus 8000 ist, also schneidet die gerade die y-Achse bei plus 8000 und hat eine Steigung von minus 1.
04:16Bei der dritten Ungleichung steht, dass y größer oder gleich minus 0,6 unendlich x plus 5500 ist, also schneidet die Randgerade die y-Achse bei plus 5500 und hat eine Steigung von minus 0,6 unendlich.
04:34Bei der dritten Ungleichung steht, dass y kleiner oder gleich minus 0,6 unendlich x plus 7500 ist, also schneidet die Randgerade die y-Achse bei plus 7500 und hat eine Steigung von minus 0,6 unendlich.
04:53Bei der sechsten Ungleichung steht, dass y größer oder gleich 0,5 x ist, also geht diese Randgerade durch den Ursprung und hat eine Steigung von 0,5.
05:06Die Lösungsmenge befindet sich im ersten Quadranten auf der dritten Geraden und zwischen der fünften und der sechsten Randgeraden.
05:15Die Zielfunktion zeichnen wir mit einer Steigung von minus 0,5 durch den Ursprung ein.
05:21Wir machen eine Parallelverschiebung so weit nach oben, bis die gerade das Planungspolygon nur noch in einem Punkt berührt.
05:30Diesen Berührungspunkt nennen wir Pimin.
05:34Es handelt sich um den Schnittpunkt der dritten und der sechsten Randgeraden.
05:40Nun können wir die minimalen Reinigungskosten berechnen.
05:43Der gesuchte Punkt ist der Schnittpunkt der dritten und der sechsten Randgeraden, also setzen wir diese beiden Gleichungen gleich.
05:53Also gibt minus x plus 8000 gleich viel wie 0,5 x.
05:59Wir lösen nach x auf, indem wir zuerst x addieren und anschließend durch 1,5 dividieren.
06:05Das gibt für x den Wert 5333,3 unendlich.
06:13Um y zu bestimmen, setzen wir diesen Wert in die sechste Gleichung ein.
06:19Ausgerechnet gibt das für y den Wert 2666,6 unendlich.
06:25Somit hat der Punkt Pimin die Koordinaten, 5333, zu 2667.
06:35Die minimalen Reinigungskosten haben wir also, wenn wir vom grauen Teppich 5333 Quadratmeter und vom blauen Teppich 2667 Quadratmeter verlegen.
06:48Zum Schluss wollen wir noch berechnen, wie hoch die minimalen Reinigungskosten und die Teppichkosten sind.
06:57Für die Reinigungskosten setzen wir die Werte von x und y in die Zielfunktion ein.
07:04Ausgerechnet gibt das 16.000 Franken 50.
07:08Für die Teppichkosten setzen wir die Werte von x und y in die Gleichung 4 ein.
07:14Ausgerechnet gibt das 186.670 Franken.
07:21Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
Kommentare