In diesem Video wird eine Bruchgleichung behandelt, bei der die gesuchte Variable im Nenner vorkommt. Der Fokus liegt auf der Bestimmung der Definitions- und Lösungsmenge unter der Annahme, dass die Grundmenge alle reellen Zahlen umfasst. Zunächst werden die Nenner der Gleichung faktorsiert, wobei die dritte binomische Formel zur Anwendung kommen.
Willkommen auf dem Kanal von EducaNova. Hier findet ihr viele Lernvideos zu Themen aus der Mathematik und der Physik auf der Sekundarstufe 2.
00:00Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, bei der die unbekannte Größe im Nenner vorkommt.
00:06In diesem Video bestimmen wir die Definitions- und die Lösungsmenge einer solchen Gleichung.
00:14Wir haben hier eine Gleichung, von der wir die Definitions- und die Lösungsmenge bestimmen sollen.
00:21Die Grundmenge sind dabei alle reellen Zahlen.
00:25Die gesuchte Größe m kommt in den Nennern vor.
00:28Als erstes faktorisieren wir die Nenner.
00:33Der erste Nenner ist eine dritte binomische Formel, das gibt also 2m plus 1 mal 2m minus 1.
00:41Der zweite Nenner kann nicht faktorisiert werden.
00:45Im ersten Nenner haben wir einen Faktor 2m minus 1 und im dritten Nenner 1 minus 2m.
00:52Um das anzupassen, klammern wir beim dritten Nenner minus 1 aus und erhalten somit minus 2m minus 1.
01:02Für alle Nenner gilt, dass keiner der Faktoren 0 sein darf.
01:07Der Faktor 2m plus 1 gibt 0, wenn m minus 0,5 beträgt.
01:13Die Definitionsmenge sind somit alle reellen Zahlen ohne minus 0,5 und 0,5.
01:28Um die Lösungsmenge zu bestimmen, müssen wir die Gleichung nach m auflösen.
01:33Dabei gehen wir wie folgt vor.
01:37Als erstes multiplizieren wir die Gleichung mit dem KGV alle Nenner.
01:42Das ist bei dieser Gleichung 2m plus 1 mal 2m minus 1.
01:48Damit erreichen wir, dass die Gleichung keine Brüche mehr enthält.
01:52Beim ersten Bruch ist der Nenner gerade das gleiche wie das KGV, also gibt das multipliziert gerade den Nenner, also 2, mal Klammer 7m, hoch 2, plus 2.
02:05Bei der Multiplikation des zweiten Bruchs mit dem KGV kürzt sich 2m, plus 1, also bleibt der Zähler, 3m, minus 1, mal den Rest vom KGV, also 2m, minus 1.
02:18Und beim letzten Bruch kürzt sich 2m, minus 1, also bleibt noch der Zähler, mal 2m, plus 1.
02:27Die beiden Minus vor dem Bruch und im Nenner werden zu einem Plus.
02:33Die Klammern auf der linken und der rechten Seite der Gleichung können wir ausmultiplizieren.
02:37Das gibt auf der linken Seite 14m, hoch 2, plus 4, und auf der rechten Seite 6m, hoch 2, minus 5m, plus 1, und 8m, hoch 2, plus 6m, plus 1.
02:53Wir können die Gleichung minus 14m, hoch 2 rechnen, damit verschwindet m, hoch 2.
03:00Die 4 auf der linken Seite lassen wir mal so stehen.
03:03Fassen wir die rechte Seite der Gleichung zusammen.
03:08Minus 5m, plus 6m, gibt m, und 1, plus 1, gibt 2.
03:15Wir subtrahieren 2, damit wir auf der einen Seite m alleine haben.
03:212 ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist unsere Lösungsmenge 2.
03:25Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
Schreibe den ersten Kommentar