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Mathematik - EducaNova
  • vor 5 Monaten
Definitions- und Lösungsmenge einer Wurzelgleichung bestimmen
Wir lösen eine Wurzelgleichung mit drei Wurzeln und wenden dabei die binomischen Formeln an.

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Transkript
00:00Bei manchen Wurzelgleichungen steht die unbekannte Größe unter drei verschiedenen Wurzeln.
00:06In diesem Video lösen wir eine solche Wurzelgleichung.
00:12Wir haben hier eine Wurzelgleichung, von der wir die Definitions- und die Lösungsmenge bestimmen sollen.
00:20Die Grundmenge sind dabei alle reellen Zahlen.
00:23Beginnen wir mit der Definitionsmenge.
00:26Die gesuchte Größe x kommt unter mehreren Wurzeln vor.
00:32Wurzeln können nur von nicht-negativen Zahlen gezogen werden, also müssen alle Radikanten größer oder gleich 0 sein.
00:40Der erste Radikant ist 25x plus 1.
00:45Wir setzen ihn größer oder gleich 0.
00:47Um diese Ungleichung nach x aufzulösen, subtrahieren wir zuerst 1 und dividieren anschließend durch 25.
00:57Also muss x größer oder gleich minus 1 fünfundzwanzigstel sein.
01:03Der zweite Radikant, 9x minus 1, setzen wir ebenfalls größer oder gleich 0.
01:09Wir addieren 1 und dividieren durch 9, also muss x größer oder gleich 1 neuntel sein.
01:18Und der letzte Radikant, 4x plus 2, muss auch größer oder gleich 0 sein.
01:24Plus 2 und geteilt durch 4, gibt das für x größer oder gleich minus 1 zweitel.
01:30Für die Definitionsmenge der Gesamtgleichung müssen alle Bedingungen erfüllt sein.
01:38Das können wir zum Beispiel mit dem Zahlenstrahl herausfinden, indem wir jede Ungleichung darauf markieren.
01:45Der erste Teil, größer oder gleich minus 1 fünfundzwanzigstel, sieht so aus.
01:52Größer oder gleich 1 neuntel ist dieser Bereich und größer oder gleich minus 1 zweitel ist dieser Bereich.
01:58Wir sehen also, dass ab einem neuntel alle Bereiche abgedeckt sind.
02:05Somit ist die Definitionsmenge alle reellen Zahlen, die größer oder gleich 1 neuntel bzw. 0,1 unendlich sind.
02:15Machen wir mit der Gleichung selbst weiter.
02:19Um die Lösungsmenge zu bestimmen, müssen wir die Gleichung nach x auflösen.
02:24Dabei gehen wir wie folgt vor.
02:26Damit wir die Gleichung quadrieren können, muss eine Wurzel separiert sein.
02:33Das ist hier bereits der Fall.
02:35Wir quadrieren die Gleichung.
02:38Achtet darauf, dass ihr jeweils die ganze linke, bzw. rechte Seite der Gleichung quadriert,
02:45das heißt, dass wir die rechte Seite in Klammern setzen müssen.
02:48Auf der linken Seite haben wir das Quadrat einer Wurzel, also lösen sie sich gegenseitig auf,
02:55und wir erhalten einfach den Radikanten.
02:58Auf der rechten Seite der Gleichung haben wir eine Summe,
03:01also müssen wir sie wie eine binomische Formel behandeln.
03:04Das Video unter dem Link 1 beschreibt die binomischen Formeln etwas genauer.
03:11Die Wurzel von 9x minus 1 entspricht dabei a, die Wurzel von 4x plus 2 entspricht dem b.
03:20Das Ganze sieht jetzt aus wie eine erste binomische Formel.
03:23Diese ausgerechnet gibt a, im Quadrat, plus 2ab, plus b, im Quadrat.
03:31a ist die erste Wurzel, also setzen wir diese im Quadrat ein,
03:36der nächste Summand ist 2, mal die erste, mal die zweite Wurzel,
03:40und zum Schluss addieren wir noch die zweite Wurzel, im Quadrat.
03:44Das Quadrat der ersten Wurzel gibt einfach den Radikanten der ersten Wurzel.
03:49Nach den Wurzelgesetzen ist das Produkt von zwei Wurzeln
03:53einfach die Wurzel vom Produkt der beiden Radikanten.
03:57Das Video unter dem Link 2 beschreibt dieses Wurzelgesetz etwas genauer.
04:04Und schließlich ist das Quadrat der zweiten Wurzel
04:06einfach der Radikant der zweiten Wurzel.
04:10Jetzt haben wir eine Gleichung, die nur noch eine Wurzel enthält.
04:14Wir separieren die Wurzel, indem wir die 9x, die 4x,
04:19und die 2, auf der rechten Seite subtrahieren, und die minus 1 addieren.
04:24Auf der linken Seite bleibt 12x, und auf der rechten Seite 2, mal die Wurzel übrig.
04:31Wir dividieren die Gleichung durch 2, damit die Wurzel vollständig separiert ist.
04:37Wir quadrieren die Gleichung, damit die Wurzel auf der rechten Seite verschwindet.
04:42Auf der linken Seite gibt das 36x hoch 2, und auf der rechten Seite können wir die beiden
04:49Klammern ausmultiplizieren.
04:52Dann subtrahieren wir 36x hoch 2, und addieren 2.
04:58Als letztes dividieren wir noch durch 14, und kürzen zu einem Siebtel.
05:02Ein Siebtel ist zwar in der Definitionsmenge enthalten, aber weil wir mit dem Quadrieren
05:08eine nicht-äquivalente Umformung durchgeführt haben, müssen wir überprüfen, ob x, die ursprüngliche
05:14Gleichung erfüllt.
05:16Das machen wir, indem wir die Probe durchführen.
05:21Für die Probe setzen wir die Lösung, die wir erhalten haben, überall dort in die ursprüngliche
05:27Gleichung ein, wo x steht.
05:30Also haben wir die Wurzel von 25, mal ein Siebtel, plus 1, gleich die Wurzel von 9, mal ein Siebtel,
05:38minus 1, plus die Wurzel von 4, mal ein Siebtel, plus 2.
05:43Diese Gleichung darf nicht umgeformt werden, sondern die Werte müssen ausgerechnet werden.
05:48Auf der linken Seite haben wir gerundet 2,138, und auf der rechten Seite 0,535, plus 1,604.
06:00Ausgerechnet erhalten wir auf beiden Seiten gerundet 2,138.
06:05Diese Aussage ist wahr.
06:08Somit ist die Lösungsmenge ein Siebtel.
06:11Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
06:18Musik
06:47Musik
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