00:00Bruchungleichungen sind Ungleichungen, bei denen die gesuchte Größe im Nenner vorkommt.
00:06Es gibt verschiedene Methoden, um solche Bruchungleichungen zu lösen.
00:11In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel die halbgrafische Methode an.
00:19Das Beispiel, das wir uns anschauen, ist die Bruchungleichung 2 geteilt durch x minus 2 ist kleiner als 3 geteilt durch x.
00:30Beginnen wir mit der Definitionsmenge.
00:33Der linke Nenner x minus 2 darf nicht 0 sein, also darf x nicht 2 sein.
00:40Der rechte Nenner wird 0, wenn x gleich 0 ist.
00:45Also darf x auch nicht 0 sein.
00:48Also ist die Definitionsmenge die Grundmenge, in dem Fall alle reellen Zahlen, ohne 0 und 2.
00:54Bei einer Bruchgleichung würden wir diese jetzt mit den beiden Nennern multiplizieren.
01:02Bei Ungleichungen ist das nicht möglich, weil wir nicht wissen, ob x positiv oder negativ ist, und ob wir deswegen das Ungleichheitszeichen drehen müssen, oder nicht.
01:13Wir müssten also eine Fallunterscheidung machen.
01:16Die Methode, die wir hier anschauen, geht einen anderen Weg.
01:22Als erstes sortieren wir die Ungleichung nach 0.
01:26Das erreichen wir, indem wir 3 geteilt durch x auf beiden Seiten der Ungleichung subtrahieren.
01:32Als nächstes wollen wir die linke Seite der Ungleichung so weit wie möglich in Faktoren zerlegen.
01:40Also machen wir die beiden Nenner gleichnamig, indem wir den ersten Bruch mit x und den zweiten mit x minus 2 erweitern.
01:49Wir schreiben das Ganze als einen einzigen Bruch, indem wir den ersten Zähler minus den zweiten Zähler über dem gemeinsamen Nenner schreiben.
01:57Als nächstes multiplizieren wir die Klammern im Zähler aus und fassen ihn zusammen.
02:04Den Nenner können wir so stehen lassen, weil er schon faktorisiert ist.
02:10Wir haben also unsere Bruchungleichung nach 0 aufgelöst und faktorisiert.
02:15Die erhaltenen Faktoren sind minus x, plus 6, dann x, und der dritte Faktor ist x, minus 2.
02:23Falls einer der Faktoren noch quadratische oder höhere Glieder enthält, sollte dieser, falls möglich, noch in lineare Faktoren zerlegt werden.
02:35Bis zu diesem Schritt sind die halbgrafische Methode und die Fallunterscheidungsmethode identisch.
02:42Als nächstes entscheiden wir mit Hilfe des Zahlenstrahls, wann die einzelnen Faktoren positiv und wann sie negativ sind.
02:49Der erste Faktor, minus x, plus 2, wird 0, wenn wir für x, den Wert 6 einsetzen.
02:58Also heißt das, dass auf dem Zahlenstrahl, links und rechts von 6, das Vorzeichen unterschiedlich ist.
03:06Wir können für x, einen beliebigen Wert einsetzen, um herauszufinden, auf welcher Seite die Vorzeichen sind.
03:12Wenn wir für x, den Wert 0, einsetzen, erhalten wir für diesen Faktor den Wert 6, also ist der erste Faktor für x-Werte kleiner als 6 positiv, für größere Werte ist er negativ.
03:27Beim zweiten Faktor ist es relativ einfach.
03:31Die Grenze ist bei 0.
03:34Für Werte kleiner 0, wird x negativ, für Werte größer 0, wird x positiv.
03:39Der dritte Faktor, x, minus 2, wird 0, für den Wert 2.
03:46Also haben wir bei 2 die Grenze.
03:50Setzen wir für x, den Wert 0, ein, wird der Faktor negativ, also wird der Faktor für Werte kleiner 2, negativ, für Werte größer 2, positiv.
04:01Als nächstes überlagern wir diese drei Zahlenstrahlen.
04:04Überall dort, wo wir auf einem der Zahlenstrahlen einen Vorzeichenwechsel haben, können wir diese Position nach unten auf den kombinierten Zahlenstrahl ziehen.
04:16Dieser wird in vier Bereiche unterteilt.
04:18Im ersten Bereich sind zwei, also eine gerade Anzahl, der Faktoren negativ, minus, mal minus, gibt plus, also ist das insgesamt positiv.
04:30Im zweiten Bereich ist nur einer der Faktoren negativ, also ist das gesamthaft negativ.
04:37Im dritten Bereich sind alle Faktoren positiv, also insgesamt positiv.
04:41Und im letzten Bereich ist wiederum nur ein Faktor negativ, also ist dieser insgesamt negativ.
04:50Als letztes müssen wir nur noch die Lösungsmenge richtig rauslesen.
04:55Die Bruchungleichung sagt, dass der Term kleiner als 0 sein muss, also nehmen wir den Anteil vom Zahlenstrahl, der negativ ist.
05:04In diesem Fall sind das die Bereiche 2 und 4.
05:07Die Grenzen 0 und 2 gehören nicht zur Lösungsmenge, weil diese durch den Definitionsbereich ausgeschlossen sind.
05:16Weil die Ungleichung kleiner und nicht kleiner gleich ist, gehört auch 6 nicht zur Lösungsmenge, weil sonst der Zähler 0 gibt und 0 nicht kleiner als 0 ist.
05:26Somit lautet die Lösungsmenge, x ist ein Element der reellen Zahlen, mit der Bedingung, dass x größer als 0 und kleiner als 2 ist, oder, dass x größer als 6 ist.
05:40Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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