In diesem Video wird anhand einer Ungleichung die halbgrafische Methode zur Lösung von Bruchungleichungen erläutert. Der Ansatz beginnt mit der Bestimmung der Definitionsmenge und führt über die Zerlegung und Faktorisierung der Brüche zu einer Analyse der Vorzeichen der einzelnen Faktoren. Mithilfe eines Zahlenstrahls wird schliesslich die Lösungsmenge ermittelt, die angibt, in welchen Bereichen die Ungleichung erfüllt ist. Die halbgrafische Methode bietet eine anschauliche Alternative zur Fallunterscheidung.
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00:00Bruchungleichungen sind Ungleichungen, bei denen die gesuchte Größe im Nenner vorkommt.
00:06Es gibt verschiedene Methoden, um solche Bruchungleichungen zu lösen.
00:11In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel die halbgrafische Methode an.
00:19Das Beispiel, das wir uns anschauen, ist die Bruchungleichung 2 geteilt durch x minus 2 ist kleiner als 3 geteilt durch x.
00:30Beginnen wir mit der Definitionsmenge.
00:33Der linke Nenner x minus 2 darf nicht 0 sein, also darf x nicht 2 sein.
00:40Der rechte Nenner wird 0, wenn x gleich 0 ist.
00:45Also darf x auch nicht 0 sein.
00:48Also ist die Definitionsmenge die Grundmenge, in dem Fall alle reellen Zahlen, ohne 0 und 2.
00:54Bei einer Bruchgleichung würden wir diese jetzt mit den beiden Nennern multiplizieren.
01:02Bei Ungleichungen ist das nicht möglich, weil wir nicht wissen, ob x positiv oder negativ ist, und ob wir deswegen das Ungleichheitszeichen drehen müssen, oder nicht.
01:13Wir müssten also eine Fallunterscheidung machen.
01:16Die Methode, die wir hier anschauen, geht einen anderen Weg.
01:22Als erstes sortieren wir die Ungleichung nach 0.
01:26Das erreichen wir, indem wir 3 geteilt durch x auf beiden Seiten der Ungleichung subtrahieren.
01:32Als nächstes wollen wir die linke Seite der Ungleichung so weit wie möglich in Faktoren zerlegen.
01:40Also machen wir die beiden Nenner gleichnamig, indem wir den ersten Bruch mit x und den zweiten mit x minus 2 erweitern.
01:49Wir schreiben das Ganze als einen einzigen Bruch, indem wir den ersten Zähler minus den zweiten Zähler über dem gemeinsamen Nenner schreiben.
01:57Als nächstes multiplizieren wir die Klammern im Zähler aus und fassen ihn zusammen.
02:04Den Nenner können wir so stehen lassen, weil er schon faktorisiert ist.
02:10Wir haben also unsere Bruchungleichung nach 0 aufgelöst und faktorisiert.
02:15Die erhaltenen Faktoren sind minus x, plus 6, dann x, und der dritte Faktor ist x, minus 2.
02:23Falls einer der Faktoren noch quadratische oder höhere Glieder enthält, sollte dieser, falls möglich, noch in lineare Faktoren zerlegt werden.
02:35Bis zu diesem Schritt sind die halbgrafische Methode und die Fallunterscheidungsmethode identisch.
02:42Als nächstes entscheiden wir mit Hilfe des Zahlenstrahls, wann die einzelnen Faktoren positiv und wann sie negativ sind.
02:49Der erste Faktor, minus x, plus 2, wird 0, wenn wir für x, den Wert 6 einsetzen.
02:58Also heißt das, dass auf dem Zahlenstrahl, links und rechts von 6, das Vorzeichen unterschiedlich ist.
03:06Wir können für x, einen beliebigen Wert einsetzen, um herauszufinden, auf welcher Seite die Vorzeichen sind.
03:12Wenn wir für x, den Wert 0, einsetzen, erhalten wir für diesen Faktor den Wert 6, also ist der erste Faktor für x-Werte kleiner als 6 positiv, für größere Werte ist er negativ.
03:27Beim zweiten Faktor ist es relativ einfach.
03:31Die Grenze ist bei 0.
03:34Für Werte kleiner 0, wird x negativ, für Werte größer 0, wird x positiv.
03:39Der dritte Faktor, x, minus 2, wird 0, für den Wert 2.
03:46Also haben wir bei 2 die Grenze.
03:50Setzen wir für x, den Wert 0, ein, wird der Faktor negativ, also wird der Faktor für Werte kleiner 2, negativ, für Werte größer 2, positiv.
04:01Als nächstes überlagern wir diese drei Zahlenstrahlen.
04:04Überall dort, wo wir auf einem der Zahlenstrahlen einen Vorzeichenwechsel haben, können wir diese Position nach unten auf den kombinierten Zahlenstrahl ziehen.
04:16Dieser wird in vier Bereiche unterteilt.
04:18Im ersten Bereich sind zwei, also eine gerade Anzahl, der Faktoren negativ, minus, mal minus, gibt plus, also ist das insgesamt positiv.
04:30Im zweiten Bereich ist nur einer der Faktoren negativ, also ist das gesamthaft negativ.
04:37Im dritten Bereich sind alle Faktoren positiv, also insgesamt positiv.
04:41Und im letzten Bereich ist wiederum nur ein Faktor negativ, also ist dieser insgesamt negativ.
04:50Als letztes müssen wir nur noch die Lösungsmenge richtig rauslesen.
04:55Die Bruchungleichung sagt, dass der Term kleiner als 0 sein muss, also nehmen wir den Anteil vom Zahlenstrahl, der negativ ist.
05:04In diesem Fall sind das die Bereiche 2 und 4.
05:07Die Grenzen 0 und 2 gehören nicht zur Lösungsmenge, weil diese durch den Definitionsbereich ausgeschlossen sind.
05:16Weil die Ungleichung kleiner und nicht kleiner gleich ist, gehört auch 6 nicht zur Lösungsmenge, weil sonst der Zähler 0 gibt und 0 nicht kleiner als 0 ist.
05:26Somit lautet die Lösungsmenge, x ist ein Element der reellen Zahlen, mit der Bedingung, dass x größer als 0 und kleiner als 2 ist, oder, dass x größer als 6 ist.
05:40Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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