00:00Mithilfe der linearen Optimierung kann man bestimmen, wie man bei gegebenen Ressourcen einen maximalen Gewinn erwirtschaften kann.
00:09In diesem Video schauen wir uns das Ganze am Beispiel eines Landwirtschaftsbetriebs an.
00:16Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet
00:20Ein Landwirt möchte 90 Hektaren Land mit Kartoffeln und Zuckerrüben bebauen.
00:26Kartoffeln erfordern einen Arbeitsaufwand von 3 Tagen je Hektare und einen Kapitalaufwand von 400 Franken je Hektare, Zuckerrüben 4 Tage und 200 Franken je Hektare.
00:40Wegen der Bodenqualität müssen mindestens 50 Hektaren Zuckerrüben angebaut werden.
00:45Für die Bewirtschaftung der 90 Hektaren stehen maximal 360 Arbeitstage und maximal 24.000 Franken zur Verfügung.
00:56Eine Hektare Kartoffeln bringen einen Reingewinn von 450 Franken, eine Hektare Zuckerrüben 150 Franken.
01:06Wie muss produziert werden, um maximalen Gewinn zu erzielen?
01:11Weisen wir als erstes den Variablen eine Bedeutung zu.
01:16Dazu definieren wir x als die Anzahl Hektaren Kartoffeln und y als die Anzahl Hektaren Zuckerrüben.
01:23Es können nur positive Hektaren angebaut werden, also ist der Definitionsbereich für beide Variablen die positiven, rationalen Zahlen.
01:34Jetzt stellen wir ein lineares Ungleichungssystem auf.
01:39Die beiden ersten Ungleichungen erhalten wir dadurch, dass man nicht eine negative Anzahl Hektaren anbauen kann.
01:45Also ist die erste Ungleichung, x ist größer oder gleich 0, und die zweite Ungleichung ist, auch y ist größer oder gleich 0.
01:57Die dritte Ungleichung erhalten wir aus der Landfläche.
02:02Aus dieser Passage erhalten wir, dass x plus y kleiner oder gleich 90 ist.
02:08Wir subtrahieren x, um die Ungleichung nach y aufzulösen.
02:14Die vierte Ungleichung erhalten wir aus der Anzahl verfügbarer Arbeitstage.
02:20Aus dieser Passage erhalten wir, dass 3x plus 4y kleiner oder gleich 360 ist.
02:28Wir subtrahieren 3x und dividieren anschließend durch 4, um die Ungleichung nach y aufzulösen.
02:35Für die fünfte Ungleichung brauchen wir die Passage über das Kapital.
02:41Daraus folgt, dass 400x plus 200y kleiner oder gleich 24.000 ist.
02:49Wir subtrahieren 400x und dividieren anschließend durch 200, um die Ungleichung nach y aufzulösen.
02:58Die sechste Ungleichung erhalten wir aus der Bodenqualität.
03:02Aus dieser Passage folgt, dass y größer oder gleich 50 ist.
03:09Mit der Zielfunktion können wir den Reingewinn beschreiben.
03:14Aus dieser Passage geht hervor, dass der Gewinn 450x plus 150y ist.
03:21Auch diese Gleichung lösen wir nach y auf, indem wir zuerst minus 450x rechnen und anschließend durch 150 teilen.
03:33Z durch 150 ersetzen wir durch die Konstante k.
03:37Somit wissen wir, dass unsere Zielfunktion eine Steigung von minus 3 hat.
03:42Nun haben wir alle Angaben zusammen, um das Planungspolygon zu zeichnen.
03:48Die erste Ungleichung sagt, dass x größer oder gleich 0 sein soll, also ist die y-Achse die erste Randgerade.
03:58Die zweite Ungleichung sagt, dass y größer oder gleich 0 sein soll, also ist die x-Achse die zweite Randgerade.
04:06Bei der dritten Ungleichung steht, dass y kleiner oder gleich minus x plus 90 ist, also schneidet die Randgerade die y-Achse bei plus 90 und hat eine Steigung von minus 1.
04:20Bei der fünften Ungleichung steht, dass y kleiner oder gleich minus 2x plus 120 ist, also schneidet die Randgerade die y-Achse bei plus 120 ist, also schneidet die Randgerade die y-Achse bei plus 120.
04:50Bei der sechsten Ungleichung steht, dass y größer oder gleich 50 ist, also zeichnen wir eine horizontale Linie durch y gleich 50.
05:05Die Lösungsmenge befindet sich im ersten Quadranten unterhalb der dritten, vierten und fünften Randgeraden und oberhalb der sechsten Randgeraden.
05:14Die Zielfunktion zeichnen wir mit einer Steigung von minus 3 durch den Ursprung ein.
05:21Wir machen eine Parallelverschiebung so weit nach oben, bis die gerade das Planungspolygon nur noch in einem Punkt berührt.
05:30Diesen Berührungspunkt nennen wir p-max.
05:34Es handelt sich um den Schnittpunkt der fünften und der sechsten Randgeraden.
05:38Jetzt können wir den maximalen Gewinn berechnen.
05:44Wir wissen, dass p-max als y-Wert 50 hat.
05:49Um x zu bestimmen, setzen wir diesen Wert in die fünfte Gleichung ein.
05:55Wir addieren 2x, subtrahieren 50 und dividieren durch 2.
05:59Ausgerechnet gibt das für y-Wert 35.
06:05Somit hat der Punkt p-max die Koordinaten 35 zu 50.
06:11Den maximalen Gewinn erreicht der Landwirt also, wenn er 35 Hektaren Kartoffeln und 50 Hektaren Zuckerrüben anbaut.
06:21Der Gewinn ist dabei 450 mal 35 plus 150 mal 50 Franken.
06:28Das gibt ausgerechnet 23.250 Franken.
06:35Zum Schluss wollen wir noch berechnen, welcher Anteil der verfügbaren Ressourcen eingesetzt wird.
06:42Dazu setzen wir die Werte von x und y in die Gleichungen 3 bis 5 ein.
06:47Bei der Landnutzung haben wir 35 plus 50 Hektaren, geteilt durch 90 Hektaren, also werden 94,4% der verfügbaren Landfläche genutzt.
07:00Bei der Arbeit haben wir 3 mal 35 plus 4 mal 50, geteilt durch 360 Tage.
07:08Das gibt einen Anteil von 84,7%.
07:13Und beim Kapital haben wir 400 mal 35 plus 200 mal 50, geteilt durch 24.000.
07:23Das gibt 100%.
07:25Das bedeutet also, dass von den verfügbaren Ressourcen nur das Kapital vollständig eingesetzt wurde.
07:32Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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