00:00Wie man bei gegebenen Einschränkungen bzw. Ressourcen einen optimalen Output erwirtschaften
00:06kann, kann mithilfe der linearen Optimierung bestimmt werden.
00:11In diesem Video schauen wir uns das Ganze am Beispiel einer Baufirma an.
00:18Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet
00:22Eine Baufirma hat ein Grundstück in einem Ferienparadies von 80.000 Quadratmeter erworben
00:29und plant den Bau von zweistöckigen und vierstöckigen Ferienhäusern in Holzbauweise.
00:35In den zweistöckigen sollen es sechs, in den vierstöckigen zehn Wohnungen geben.
00:41Die Kosten für ein zweistöckiges Haus betragen 250.000 Franken, für ein vierstöckiges Haus 625.000 Franken.
00:50Insgesamt hat die Genossenschaft ein Kapital von 31.250.000 Franken für den Bau der Häuser zur Verfügung.
01:00Das kleinere Haus benötigt eine Grundstücksfläche von 800 Quadratmeter, das größere 1.000 Quadratmeter.
01:09Gemäß dem Überbauungsplan dürfen nicht mehr als 40 vierstöckige Häuser gebaut werden.
01:14Wie ist das Grundstück zu überbauen, damit möglichst viele Wohnungen entstehen?
01:21Weisen wir als erstes den Variablen eine Bedeutung zu.
01:26Dazu definieren wir x als die Anzahl zweistöckige Häuser und y als die Anzahl vierstöckige Häuser.
01:34Es können nur ganze Häuser gebaut werden, also ist der Definitionsbereich für beide Variablen die natürlichen Zahlen.
01:41Jetzt stellen wir ein lineares Ungleichungssystem auf.
01:47Die beiden ersten Ungleichungen erhalten wir dadurch, dass man nicht eine negative Anzahl Häuser bauen kann.
01:55Also ist die erste Ungleichung x ist größer oder gleich 0 und die zweite Ungleichung ist auch y ist größer oder gleich 0.
02:05Die dritte Ungleichung erhalten wir aus den Baukosten in Franken.
02:09Aus dieser Passage erhalten wir, dass 250.000 x plus 625.000 y kleiner oder gleich 31.250.000 ist.
02:24Wir subtrahieren 250.000 x und dividieren anschließend durch 625.000, um die Ungleichung nach y aufzulösen.
02:33Für die fünfte Ungleichung brauchen wir die Passage über den Überbauungsplan.
03:01y ist also kleiner oder gleich 40.
03:07Mit der Zielfunktion können wir die Anzahl Wohnungen beschreiben.
03:12Aus dieser Passage geht hervor, dass die Anzahl Wohnungen 6x plus 10y ist.
03:18Auch diese Gleichung lösen wir nach y auf, indem wir zuerst minus 6x rechnen und anschließend durch 10 teilen.
03:29z durch 10 ersetzen wir durch die Konstante k.
03:33Somit wissen wir, dass unsere Zielfunktion eine Steigung von minus 0,6 hat.
03:38Nun haben wir alle Angaben zusammen, um das Planungspolygon zu zeichnen.
03:44Die erste Ungleichung sagt, dass x größer oder gleich 0 sein soll, also ist die y-Achse die erste Randgerade.
03:54Die zweite Ungleichung sagt, dass y größer oder gleich 0 sein soll, also ist die x-Achse die zweite Randgerade.
04:02Bei der dritten Ungleichung steht, dass y kleiner oder gleich minus 0,4x plus 50 ist, also schneidet die Randgerade die y-Achse bei plus 50 und hat eine Steigung von minus 0,4.
04:18Bei der fünften Ungleichung steht, dass y kleiner oder gleich minus 0,8x plus 80 ist, also schneidet die Randgerade die y-Achse bei plus 80 und hat eine Steigung von minus 0,8.
04:35Bei der fünften Ungleichung steht, dass y kleiner oder gleich 40 ist, also zeichnen wir eine horizontale Linie durch y gleich 40.
04:45Die Lösungsmenge befindet sich im ersten Quadranten unterhalb der dritten, vierten und fünften Randgeraden.
04:54Die Zielfunktion zeichnen wir mit einer Steigung von minus 0,6 durch den Ursprung ein.
05:02Wir machen eine Parallelverschiebung so weit nach oben, bis die gerade das Planungspolygon nur noch in einem Punkt berührt.
05:09Diesen Berührungspunkt nennen wir p-max.
05:12Es handelt sich um den Schnittpunkt der dritten und der vierten Randgeraden.
05:19Zum Schluss berechnen wir, wie viele Häuser von jeder Art gebaut werden sollen.
05:25Der gesuchte Punkt ist der Schnittpunkt der dritten und der vierten Randgeraden, also setzen wir diese beiden Gleichungen gleich.
05:32Wir lösen nach x auf, indem wir zuerst 50 subtrahieren, 0,8x addieren und anschließend durch 0,4 teilen.
05:50Das gibt für x den Wert 75.
05:55Um y zu bestimmen, setzen wir diesen Wert in die dritte Gleichung ein.
06:01Ausgerechnet gibt das für y den Wert 20.
06:05Somit hat der Punkt p-max die Koordinaten 75 zu 20.
06:12Die maximale Anzahl Wohnungen erreicht die Baufirma also, wenn sie 75 zweistöckige Häuser und 20 vierstöckige Häuser baut.
06:21Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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