00:00Bei einer Bruchungleichung kommt die gesuchte Größe im Nenner vor.
00:05In diesem Video bestimmen wir die Definitions- und die Lösungsmenge einer solchen Bruchungleichung.
00:13Wir haben hier eine Bruchungleichung, von der wir die Definitions- und die Lösungsmenge bestimmen sollen.
00:21Die Grundmenge sind dabei alle reellen Zahlen.
00:25Beginnen wir mit der Definitionsmenge.
00:27Die gesuchte Größe x kommt in einem Nenner vor.
00:32Für diesen Nenner gilt, dass er nicht 0 sein darf.
00:364x plus 3 darf also nicht 0 sein.
00:41Wir subtrahieren 3 und dividieren anschließend durch 4.
00:45Dieser Nenner gibt also 0, wenn x minus 3 Viertel bzw. minus 0,75 ist.
00:52Die Definitionsmenge sind somit alle reellen Zahlen, ohne minus 0,75.
01:00Eine Bruchgleichung würden wir lösen, indem wir die Gleichung mit dem KGV der Nenner multiplizieren würden.
01:08Bei Bruchungleichungen funktioniert das nicht, weil wir nicht wissen, ob das KGV der Nenner positiv oder negativ ist.
01:15Im positiven Fall wird es Ungleichzeichen so bleiben, wie es ist, im negativen Fall würde es wechseln.
01:24Also müssen wir bei Bruchungleichungen ein anderes Lösungsverfahren anwenden.
01:30Als erstes lösen wir die Bruchungleichung nach 0 auf.
01:33Das erreichen wir, indem wir die eine Seite subtrahieren.
01:39Hier subtrahieren wir 3 Viertel.
01:42Auf der rechten Seite der Ungleichung bleibt 0 übrig.
01:47Dann faktorisieren wir die linke Seite der Bruchungleichung.
01:51Dazu machen wir die Brüche gleichnamig, das heißt, der Hauptnenner ist 4, mal Klammer 4x, plus 3.
01:58Den ersten Bruch erweitern wir mit 4, also gibt das im Zähler 4, mal Klammer 2x, minus 4, und den zweiten Bruch erweitern wir mit 4x, plus 3, also gibt das im Zähler 3, mal Klammer 4x, plus 3.
02:14Dann schreiben wir die ganze linke Seite in einem Bruch, indem wir den ersten Zähler, minus den zweiten Zähler rechnen, und das Ganze über dem gemeinsamen Nenner schreiben.
02:24Anschließend multiplizieren wir die Klammern im Zähler aus.
02:30Zum Schluss fassen wir den Zähler zusammen.
02:34Die linke Seite ist nun so weit, wie möglich, faktorisiert.
02:39Der Faktor 4 im Nenner hat keinen Einfluss auf das Vorzeichen des Bruchs, also müssen wir diesen Faktor nicht weiter beachten.
02:46Es gibt nur 4 mögliche Fälle für die Vorzeichen, nämlich, dass der Zähler und der Nenner positiv sind, nur der Zähler ist positiv, nur der Nenner ist positiv, oder Zähler und Nenner sind negativ.
03:01Die Bruchumgleichung ist in folgenden Fällen erfüllt.
03:04Der erste Fall ist, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner positiv sind.
03:11Der zweite Fall ist, wenn Zähler und Nenner jeweils negativ sind, denn Minus durch Minus gibt Plus.
03:20Betrachten wir zuerst den ersten Fall, bei dem sowohl Zähler als auch Nenner positiv sein sollen.
03:26Der Zähler ist positiv, wenn Minus 4x, Minus 25, Größer als Null ist.
03:34Wir addieren 25.
03:37Dann teilen wir die Ungleichung durch Minus 4.
03:41Weil wir durch eine negative Zahl teilen, wechselt das Größer-Kleiner-Zeichen.
03:47x, muss also kleiner als Minus 6,25 sein.
03:51Der Nenner ist positiv, wenn 16x, Plus 12, Größer als Null ist.
03:58Wir subtrahieren 12.
04:01Dann dividieren wir die Ungleichung durch 16.
04:05x, muss also größer als Minus 0,75 sein.
04:10Es müssen alle Bedingungen erfüllt sein.
04:12Da keine Zahl kleiner als Minus 6,25 und gleichzeitig größer als Minus 0,75 ist, hat der Fall 1 eine leere Lösungsmenge.
04:25Im zweiten Fall müssen sowohl Zähler als auch Nenner negativ sein.
04:30Also muss entsprechend x, größer als Minus 6,25 und kleiner als Minus 0,75 sein.
04:37Somit ist die Lösungsmenge für den Fall 2 alle Zahlen, die größer als Minus 6,25 und kleiner als Minus 0,75 sind.
04:48Die Lösungsmenge der ursprünglichen Bruchungleichung ist die Vereinigung aller Teillösungsmengen.
04:55In diesem Fall ist diese mit der Lösungsmenge von Fall 2 identisch.
04:59Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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