00:00Mit Hilfe der linearen Optimierung kann die Produktion für einen maximalen Gewinn optimiert
00:05werden. In diesem Video schauen wir uns das Ganze am Beispiel einer Fabrik an, die Blumenvasen
00:12herstellt. Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet. Eine Fabrik stellt Blumenvasen
00:22aus Ton und Glas her. Die Fertigungsabteilung kann täglich höchstens 60 Tonvasen oder 30
00:30Glasvasen oder eine Kombination von beiden herstellen. Von den Tonvasen sollen mindestens
00:37ebenso viele, aber maximal dreimal so viele hergestellt werden, wie von den Glasvasen.
00:44Pro Tonvase erzielt die Fabrik doppelt so viel Gewinn, wie mit den Glasvasen, nämlich 6
00:49Franken pro Vase. Weisen wir als erstes den Variablen eine Bedeutung zu. Dazu definieren
00:57wir x als die Anzahl Tonvasen und y als die Anzahl Glasvasen. Es können nur ganze Vasen
01:05hergestellt werden, also ist der Definitionsbereich für beide Variablen die natürlichen Zahlen.
01:12Jetzt stellen wir ein lineares Ungleichungssystem auf. Die beiden ersten Ungleichungen,
01:19erhalten wir dadurch, dass man nicht eine negative Anzahl Vasen herstellen kann. Also ist die erste
01:26Ungleichung, x ist größer oder gleich 0, und die zweite Ungleichung ist, auch y ist größer oder gleich 0.
01:35Die dritte Ungleichung erhalten wir aus dieser Passage. Also erhalten wir, dass x geteilt durch
01:4360 mal 100% plus y geteilt durch 30 mal 100% kleiner oder gleich 100% ist. Wir dividieren
01:53durch 100%, subtrahieren x durch 60 und multiplizieren mit 30, um die Ungleichung nach y aufzulösen.
02:02Die vierte Ungleichung erhalten wir aus dieser Bedingung. Also erhalten wir, dass y kleiner oder gleich x ist.
02:11Für die fünfte Ungleichung brauchen wir die zweite Aussage über das Verhältnis.
02:18Daraus folgt, dass x kleiner oder gleich 3y ist. Also ist y größer oder gleich ein Drittel x.
02:29Mit der Zielfunktion können wir den Gewinn beschreiben.
02:32Aus dieser Passage geht hervor, dass der Gewinn 6x plus 3y ist.
02:40Auch diese Gleichung lösen wir nach y auf, indem wir minus 6x rechnen und anschließend durch 3 teilen.
02:49z durch 3 ersetzen wir durch die Konstante k.
02:53Somit wissen wir, dass unsere Zielfunktion eine Steigung von minus 2 hat.
02:58Nun haben wir alle Angaben zusammen, um das Planungspolygon zu zeichnen.
03:05Die erste Ungleichung sagt, dass x größer oder gleich 0 sein soll, also ist die y-Achse die erste Randgerade.
03:13Bei der dritten Ungleichung steht, dass y kleiner oder gleich 0,5x plus 30 ist, also schneidet die Randgerade die y-Achse bei plus 30 und hat eine Steigung von minus 0,5.
03:37Bei der vierten Ungleichung steht, dass y kleiner oder gleich x ist, also geht die Randgerade durch den Ursprung und hat eine Steigung von 1.
03:49Bei der fünften Ungleichung steht, dass y größer oder gleich ein Drittel x ist, also geht auch diese Randgerade durch den Ursprung und hat eine Steigung von einem Drittel.
04:01Die Lösungsmenge befindet sich im ersten Quadranten unterhalb der dritten und vierten Randgeraden und oberhalb der fünften Randgeraden.
04:11Die Zielfunktion zeichnen wir mit einer Steigung von minus 2 durch den Ursprung ein.
04:18Wir machen eine Parallelverschiebung so weit nach oben, bis die gerade das Planungspolygon nur noch in einem Punkt berührt.
04:26Diesen Berührungspunkt nennen wir Pmax.
04:28Es handelt sich um den Schnittpunkt der dritten und der fünften Randgeraden.
04:35Nun können wir den maximalen Gewinn berechnen.
04:39Der gesuchte Punkt ist der Schnittpunkt der dritten und der fünften Randgeraden, also setzen wir diese beiden Gleichungen gleich.
04:46Also gibt minus 0,5x plus 30 gleich viel wie ein Drittel x.
04:54Wir lösen nach x auf, indem wir zuerst 0,5x addieren und anschließend durch 0,83 unendlich dividieren.
05:02Das gibt für x den Wert 36.
05:07Um y zu bestimmen, setzen wir diesen Wert in die fünfte Gleichung ein.
05:14Ausgerechnet gibt das für y den Wert 12.
05:18Somit hat der Punkt Pmax die Koordinaten 36 zu 12.
05:22Den maximalen Gewinn hat die Fabrik also, wenn sie 36 Tonvasen und 12 Glasvasen herstellt.
05:32Als nächstes wollen wir noch berechnen, wie hoch der maximale Gewinn ist.
05:38Dazu setzen wir die Werte von x und y in die Zielfunktion ein.
05:42Ausgerechnet gibt das 252 Franken.
05:48Zum Schluss wollen wir noch berechnen, wie groß die Auslastung der Fabrik ist.
05:54Dazu setzen wir die Werte von x und y in die Gleichung 3 ein.
06:00Das gibt 100%.
06:01Das bedeutet also, dass die Fabrik maximal ausgelastet ist.
06:06Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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