00:00Wenn ein Kapital über mehrere Jahre angelegt wird, werden auch die Zinsen der vorangehenden Jahre verzinst.
00:07In diesem Video schauen wir uns an, wie man diesen Zinseszins berechnet.
00:14Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet
00:18Auf welchen Betrag wächst ein Kapital von 5000 Franken bei 2,5% Zins inklusive Zinseszins in 10 Jahren?
00:28Runden Sie das Resultat auf 5 Rappen genau.
00:33Das Startkapital nennen wir K0, die Anzahl Jahre N, und der Zinssatz sei Pi.
00:40Nach einem Jahr sieht die Situation wie folgt aus.
00:44Das Kapital nach einem Jahr, K1, ist das Startkapital K0, plus den Zins davon, also K0 mal Pi, geteilt durch 100.
00:52Wir können K0 ausklammern, und erhalten K0, mal 1, plus Pi, durch 100.
01:01Den Inhalt der Klammer nennen wir Q, was auch Zinsfaktor genannt wird.
01:06Also ist K1, gleich K0, mal Q.
01:11K1 ist nun das neue Startkapital für das zweite Jahr.
01:16Nach zwei Jahren haben wir das Kapital K2, was K1, mal Q ist.
01:20Wir wissen, dass K1, gleich K0, mal Q ist.
01:26Q, mal Q, können wir als Q hoch 2 schreiben.
01:31Also ist K2, gleich K0, mal Q hoch 2.
01:35Nach drei Jahren ist das Kapital K3, gleich K2, mal Q.
01:41K2, wissen wir, ist K0, mal Q hoch 2.
01:45Also ist K3, gleich K0, mal Q hoch 3.
01:48Wenn wir diese Überlegung weiterführen, kommen wir darauf, dass das Kapital nach N Jahren, also Kn, gleich K0, mal Q hoch N, ist.
02:00Oder wir können Q, wieder ersetzen durch 1, plus Pi, durch 100.
02:04Für unsere Aufgabenstellung bedeutet das, dass K10, gleich 5000, mal Q hoch 10, ist.
02:14Q ist 1, plus Pi, durch 100, wobei Pi, gleich 2,5 ist.
02:212,5, durch 100, ist 0,025, also ist Q, gleich 1,025.
02:27Nun können wir Q, in der oberen Gleichung ersetzen.
02:33Ausgerechnet gibt das 6400 Franken 42.
02:38Auf 5 Rappen genau gerundet ist das 6400 Franken 40.
02:44Den ungerundeten Wert lassen wir so im Taschenrechner stehen, damit bei der folgenden Rechnung keine Rundungsfehler auftreten.
02:51Der zweite Teil der Aufgabe lautet.
02:57Auf welchen Stand verringert sich das Kapital aus dem vorangehenden Beispiel,
03:01wenn in den drei folgenden Jahren mit einem jährlichen Verlust von 1,5% gerechnet werden muss?
03:07K13, ist also K10, mal den Zinsfaktor der folgenden Jahren, hoch die Anzahl Jahre, also 3.
03:17Weil wir einen Verlust haben, steht in der Klammer ein Minus.
03:21Somit ist P, durch 100, 0,015.
03:26Wir rechnen die Klammer aus, setzen für K10 den zuvor berechneten Wert ein, und rechnen den Wert aus.
03:32Wir erhalten für K13, 6116 Franken 70.
03:39Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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