00:00Wenn bei einem verzinsten Konto mehrere Einzahlungen und Abhebungen erfolgen, kann die Zinseszinsrechnung komplex werden.
00:08In diesem Video schauen wir uns an, wie man mit einer einfachen Methode dabei die Übersicht behält.
00:17Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet
00:20Herr Zinsli eröffnet ein Konto und bezahlt 30.000 Franken ein.
00:26Nach genau drei Jahren hebt Herr Zinsli 10.000 Franken für eine Weltreise ab.
00:33Ein Jahr später kann er die Gratifikation von 5.000 Franken zusätzlich einzahlen.
00:40Wie viel muss er vier Jahre später einzahlen, damit der Kontostand, zehn Jahre nach Eröffnung des Kontos, 50.000 Franken beträgt?
00:49Der Bankzins kann während der ganzen Zeitspanne mit durchschnittlich 2,5% angenommen werden.
00:56Damit wir etwas Übersicht erhalten, stellen wir diese Angaben auf einem Zahlenstrahl dar.
01:03Anschließend können wir die entsprechende Gleichung bequem herleiten.
01:08Zum Zeitpunkt 0 werden 30.000 Franken eingezahlt.
01:13Nach drei Jahren werden 10.000 Franken abgehoben.
01:17Ein Jahr später, also nach vier Jahren, kommen weitere 5.000 Franken dazu.
01:22Vier Jahre später, also bei acht Jahren, wird der gesuchte Betrag eingezahlt.
01:29Diesen nennen wir X.
01:32Und nach zehn Jahren beträgt der Kontostand 50.000 Franken.
01:37Für die gesuchte Gleichung schauen wir, wie weit die jeweiligen Transaktionen vom Ende entfernt sind.
01:43Die Ersteinzahlung wird während zehn Jahren verzinst, also ist das 30.000 Franken, mal der Zinsfaktor Q, hoch die Anzahl Jahre, also hoch 10.
01:53Die 10.000 Franken, die nach drei Jahren abgehoben werden, werfen während den letzten sieben Jahren keinen Zins ab, also subtrahieren wir 10.000, mal Q, hoch 7.
02:05Die 5.000 Franken-Gratifikation sind noch während sechs Jahren verzinst, also kommen 5.000, mal Q, hoch 6 dazu.
02:15Und die gesuchte Einzahlung X, wird noch während zwei Jahren verzinst, also plus X, mal Q, hoch 2.
02:23Das Ganze gibt den Kontostand am Ende von 50.000 Franken.
02:28Somit haben wir den Text mit einer Gleichung formuliert.
02:31Als nächstes müssen wir diese Gleichung nach X auflösen.
02:38Für Q setzen wir den Zinsfaktor ein, welcher bei einem Zinssatz von 2,5% 1,025 beträgt.
02:46Die ersten drei Summanden zusammengerechnet ergeben 32.314,15.
02:54Diese Summe subtrahieren wir und dividieren die Gleichung im Anschluss durch den Faktor neben dem X.
03:01Das heißt also, dass nach acht Jahren eine Einzahlung von 16.833,65 Franken erfolgen muss,
03:10damit nach zehn Jahren das Konto den gewünschten Saldo aufweist.
03:14Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
