00:00Wenn man auf ein Konto regelmäßig eine Rate einzahlt, kommt eine schöne Summe zusammen.
00:06In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel an, wie man die Dauer dieser Einzahlung berechnet.
00:15Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet
00:18Max hat über Jahre hinweg rund 250.000 Franken gespart.
00:24Er konnte jeweils am Ende des Jahres seinen 13. Monatslohn von 10.000 Franken auf das Konto einzahlen.
00:33Wie viele Jahre hat Max eingezahlt?
00:36Der durchschnittliche Jahreszins lag bei einem Prozent.
00:41Aus dem Text können wir folgende Daten herauslesen.
00:45Das Anfangskapital K0 ist 0, das Endkapital KN ist 250.000, die Rate R ist 10.000,
00:54Der Zinsfaktor Q ist 1,01.
00:58Das Ganze ist nachschüssig.
01:01Gesucht ist die Dauer der Einzahlung.
01:04Wir nehmen die Formel für die nachschüssige Rente.
01:08Für KN, R und Q setzen wir die Daten von oben ein.
01:13Wir multiplizieren die Gleichung mit dem Nenner auf der rechten Seite, damit wir keine Brüche mehr haben.
01:20Mit der Division durch 10.000 werden die Zahlen kleiner.
01:23Dann addieren wir noch 1, damit die Potenz, die N enthält, alleine auf einer Seite der Gleichung steht.
01:32Wir logarithmieren die Gleichung, damit N nicht mehr in Exponenten steht.
01:38Geteilt durch den Faktor nach N lösen wir die Gleichung nach N auf.
01:42Ausgerechnet gibt das etwa 22,43.
01:47Also hat er etwa 23 Jahre eingezahlt.
01:50Der zweite Teil der Aufgabenstellung, den wir anschauen, lautet.
01:57Von diesem Sparkonto kauft sich Max ein E-Auto für 35.000 Franken.
02:02Vom Rest will er sich jährlich jeweils zu Beginn des Jahres 6.000 Franken für eine Reise in den Süden auszahlen lassen.
02:12Wie viel Geld hat Max nach 10 Jahren noch auf dem Konto?
02:16Der durchschnittliche Jahreszins liegt bei einem Prozent.
02:19Das Anfangskapital K0 ist 250.000, minus 35.000, das gibt 215.000, die Rente R, ist 6.000, die Anzahl Jahre N, ist 10, der Zinsfaktor Q, ist 1,01.
02:36Das Ganze ist vorschüssig.
02:41Gesucht ist das Kapital nach 10 Jahren.
02:44Wir nehmen die Formel für die vorschüssige Rente mit Anfangskapital und setzen für N die Anzahl Jahre ein.
02:52Für K0, R und Q können wir die Werte von oben einsetzen.
02:58Ausgerechnet gibt das 174.092,75.
03:02Also besitzt er noch 174.092,75.
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