Zinseszins berechnen

Mathematik - EducaNova

Wir berechnen, wie viel ein Startkapital durch Zinseszins nach einer bestimmten Anzahl Jahren zunimmt.  Willkommen auf dem Kanal von EducaNova. Hier findet ihr viele Lernvideos zu Themen aus der Mathematik und der Physik auf der Sekundarstufe 2.

Transcript

00:00Wenn ein Kapital über mehrere Jahre angelegt wird, werden auch die Zinsen der vorangehenden Jahre verzinst.

00:07In diesem Video schauen wir uns an, wie man diesen Zinseszins berechnet.

00:14Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet

00:18Auf welchen Betrag wächst ein Kapital von 5000 Franken bei 2,5% Zins inklusive Zinseszins in 10 Jahren?

00:28Runden Sie das Resultat auf 5 Rappen genau.

00:33Das Startkapital nennen wir K0, die Anzahl Jahre N, und der Zinssatz sei Pi.

00:40Nach einem Jahr sieht die Situation wie folgt aus.

00:44Das Kapital nach einem Jahr, K1, ist das Startkapital K0, plus den Zins davon, also K0 mal Pi, geteilt durch 100.

00:52Wir können K0 ausklammern, und erhalten K0, mal 1, plus Pi, durch 100.

01:01Den Inhalt der Klammer nennen wir Q, was auch Zinsfaktor genannt wird.

01:06Also ist K1, gleich K0, mal Q.

01:11K1 ist nun das neue Startkapital für das zweite Jahr.

01:16Nach zwei Jahren haben wir das Kapital K2, was K1, mal Q ist.

01:20Wir wissen, dass K1, gleich K0, mal Q ist.

01:26Q, mal Q, können wir als Q hoch 2 schreiben.

01:31Also ist K2, gleich K0, mal Q hoch 2.

01:35Nach drei Jahren ist das Kapital K3, gleich K2, mal Q.

01:41K2, wissen wir, ist K0, mal Q hoch 2.

01:45Also ist K3, gleich K0, mal Q hoch 3.

01:48Wenn wir diese Überlegung weiterführen, kommen wir darauf, dass das Kapital nach N Jahren, also Kn, gleich K0, mal Q hoch N, ist.

02:00Oder wir können Q, wieder ersetzen durch 1, plus Pi, durch 100.

02:04Für unsere Aufgabenstellung bedeutet das, dass K10, gleich 5000, mal Q hoch 10, ist.

02:14Q ist 1, plus Pi, durch 100, wobei Pi, gleich 2,5 ist.

02:212,5, durch 100, ist 0,025, also ist Q, gleich 1,025.

02:27Nun können wir Q, in der oberen Gleichung ersetzen.

02:33Ausgerechnet gibt das 6400 Franken 42.

02:38Auf 5 Rappen genau gerundet ist das 6400 Franken 40.

02:44Den ungerundeten Wert lassen wir so im Taschenrechner stehen, damit bei der folgenden Rechnung keine Rundungsfehler auftreten.

02:51Der zweite Teil der Aufgabe lautet.

02:57Auf welchen Stand verringert sich das Kapital aus dem vorangehenden Beispiel,

03:01wenn in den drei folgenden Jahren mit einem jährlichen Verlust von 1,5% gerechnet werden muss?

03:07K13, ist also K10, mal den Zinsfaktor der folgenden Jahren, hoch die Anzahl Jahre, also 3.

03:17Weil wir einen Verlust haben, steht in der Klammer ein Minus.

03:21Somit ist P, durch 100, 0,015.

03:26Wir rechnen die Klammer aus, setzen für K10 den zuvor berechneten Wert ein, und rechnen den Wert aus.

03:32Wir erhalten für K13, 6116 Franken 70.

03:39Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.

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