00:00Exponentialfunktionen sind Funktionen, bei denen die Variable im Exponenten vorkommt.
00:05In diesem Video schauen wir uns an einem einfachen Beispiel an, wie das aussieht.
00:11Als Beispiel dazu dient uns das Wachstum von Algen in einem Biotop.
00:17Wir haben hier eine Beispielaufgabe, die lautet.
00:23Fünf Quadratmeter eines großen Biotops sind mit schnell wachsenden Algen bedeckt.
00:29Die Algenfläche verdoppelt sich im Hochsommer jeweils innert einer Woche.
00:34Die erste Teilaufgabenstellung lautet, dass wir eine Wertetabelle für die ersten fünf Wochen erstellen sollen.
00:42Zu Beginn, also nach null Wochen, beträgt die Fläche fünf Quadratmeter.
00:47Nach einer Woche ist die bedeckte Fläche doppelt so groß, also zehn Quadratmeter.
00:53Diese zehn Quadratmeter verdoppeln sich wieder in der nächsten Woche, und somit haben wir nach zwei Wochen, 20 Quadratmeter.
01:01Wieder eine Woche später sind es 40, dann 80, und schließlich sind es, nach fünf Wochen, 160 Quadratmeter.
01:10Bei der nächsten Aufgabenstellung ist gefragt, mit welcher Funktion dieses Wachstum beschrieben werden kann.
01:18Allgemein gilt, die Fläche nach einer bestimmten Zeit ist die Fläche zu Beginn der Beobachtung a0 mal der Wachstumsfaktor a hoch die Zeit t.
01:29Die Anfangsfläche a0 beträgt fünf Quadratmeter, der Wachstumsfaktor ist zwei, weil in der Aufgabenstellung verdoppelt steht, und die Zeit t ist die Variable.
01:41Somit haben wir eine Funktion, die dieses Wachstum beschreibt.
01:46Bei der nächsten Aufgabenstellung ist gefragt, wie groß die Eigenfläche nach neun Wochen wäre, wenn das Wachstum sich ungehindert fortsetzen würde.
01:56Wir nehmen die Funktion, die wir in der vorangehenden Aufgabe aufgestellt haben, und setzen für die Zeit neun Wochen ein.
02:05Ausgerechnet gibt das 2560 Quadratmeter.
02:10Bei dieser Aufgabe haben wir also potenziert.
02:14Bei der nächsten Aufgabe ist gefragt, wie groß das Algenwachstum sein müsste, wenn die bedeckte Fläche nach acht Wochen 2500 Quadratmeter betragen würde.
02:25Wir wissen also, dass wenn wir für die Zeit acht einsetzen, es 2500 Quadratmeter gibt.
02:34Also lautet unsere Gleichung 2500 gleich 5 mal a hoch 8.
02:40Die unbekannte Größe ist also der Wachstumsfaktor a.
02:45Als erstes dividieren wir die Gleichung durch 5, also gibt das 500 gleich a hoch 8.
02:52Dann ziehen wir die achte Wurzel.
02:55Das gibt für a 2,175.
02:59Das heißt, die Algen wachsen um das 2,175-fache pro Woche.
03:05In dieser Aufgabe haben wir also radiziert.
03:09Bei der nächsten Aufgabe ist gefragt, nach wie vielen Wochen die Algenfläche 500 Quadratmeter beträgt.
03:17Dabei gehen wir wieder von der ursprünglichen Wachstumsfunktion aus.
03:22Wir wissen also, dass die Fläche 500 Quadratmeter beträgt.
03:27Also lautet unsere Gleichung 500 gleich 5 mal 2 hoch t.
03:34Es ist also die Zeit t gesucht.
03:37Wir dividieren durch 5 und erhalten die Gleichung 100 gleich 2 hoch t.
03:43Dann logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung.
03:47Nach den Logarithmengesetzen können wir den Exponenten t vor den Logarithmus nehmen.
03:53Wir dividieren die Gleichung durch den Logarithmus von 2 und rechnen den 10er Logarithmus von 100 aus, das gibt 2.
04:02Für t erhalten wir 6,64.
04:06Also dauert es 6,64 Wochen, bis die Fläche 500 Quadratmeter beträgt.
04:13Wir haben also logarithmiert.
04:16In der letzten Aufgabe sollen wir den Funktionsgrafen für das Zeitintervall 0 bis 5 zeichnen.
04:24Dazu zeichnen wir die Punkte aus der Wertetabelle der ersten Teilaufgabe ein.
04:29Dann verbinden wir diese Punkte und erhalten damit den Funktionsgrafen.
04:34Wir sehen, dass er am Anfang nur langsam ansteigt, aber dann immer stärker steigt.
04:40Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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