00:00Gewisse Exponentialgleichungen kann man mit der Substitutionsmethode lösen.
00:05In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel an, wie man dabei vorgeht.
00:13In dieser Exponentialgleichung haben wir Summen, das heißt, dass wir diese Gleichung nicht einfach logarithmieren können.
00:21Wir können sie aber mittels Substitution lösen.
00:25Beginnen wir mit der Definitionsmenge.
00:27Für x gibt es keine Einschränkungen.
00:32Also entspricht die Definitionsmenge der Grundmenge.
00:37Das sind alle reellen Zahlen.
00:39Kommen wir zur Gleichung selbst.
00:42Die gesuchte Größe x kommt in zwei Exponenten vor.
00:47Die Potenzen haben alle die gleiche Basis, und die Exponenten unterscheiden sich nur um einen Faktor, also mal 2.
00:54Somit ist der eine Exponent, ein ganzzahliges Vielfaches des anderen.
01:00Nach den Potenzgesetzen können wir 3 hoch 2x schreiben, als 3 hoch x hoch 2.
01:08Das Video unter dem Link 1 beschreibt dieses Potenzgesetz etwas genauer.
01:13Den Rest der Gleichung übernehmen wir unverändert.
01:18Die gesuchte Größe x kommt jetzt nur in gleichen Potenzen vor.
01:23Wir substituieren, das heißt wir ersetzen, die Potenz durch eine neue Variable.
01:28Dazu wählen wir einen Buchstaben, der in der Gleichung noch nicht verwendet wird.
01:35In dem Fall ersetzen wir 3 hoch x durch den Buchstaben m.
01:40Es entsteht eine einfache quadratische Gleichung mit der unbekannten m.
01:45Die Gleichung liegt bereits in der allgemeinen Form vor, also können wir sie direkt mit dem Zweiklammeransatz faktorisieren.
01:52Faktorisiert erhalten wir m minus 1 mal m minus 4.
01:59Ein Produkt ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
02:04Als Alternative können wir sie mit der ABC-Formel lösen.
02:09Dabei ist a gleich 1, b ist minus 5 und c ist 4.
02:15Wir erhalten in beiden Fällen die beiden Lösungen 1 und 4.
02:19Als nächstes machen wir die Substitution rückgängig.
02:25Das heißt, wir setzen die beiden Lösungen einzeln in die Substitutionsgleichung ein.
02:31Wenn wir m1 einsetzen, erhalten wir die Gleichung 3 hoch x gleich 1.
02:371 können wir auch schreiben als 3 hoch 0.
02:41Wenn in einer Gleichung die Basis auf beiden Seiten gleich ist, müssen auch die Exponenten gleich sein.
02:47Das heißt, wir können die Exponenten gleichsetzen.
02:52Wir erhalten für x den Wert 0.
02:55Das ist die erste Lösung der ursprünglichen Gleichung.
02:59Nun setzen wir den zweiten Wert in die Substitutionsgleichung ein.
03:04Wir erhalten die Gleichung 3 hoch x gleich 4.
03:08Wir logarithmieren die beiden Seiten der Gleichung.
03:13Nach den Logarithmengesetzen können die Exponenten als Faktor vor den Logarithmus genommen werden.
03:19Das Video unter dem Link 2 beschreibt dieses Logarithmengesetz etwas genauer.
03:26Wir dividieren die Gleichung durch den Logarithmus von 3.
03:29Nun können wir den Wert von x mit Hilfe des Taschenrechners bestimmen.
03:35Wir runden das Resultat auf 4 Nachkommastellen und erhalten 1,2619.
03:43Das ist die zweite Lösung der ursprünglichen Gleichung.
03:47Beide Werte sind in der Definitionsmenge enthalten und sind somit gerade die Lösungsmenge.
03:52Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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