Exponentialgleichung mit Substitution lösen

Mathematik - EducaNova

In diesem Video lösen wir eine einfache Exponentialgleichung mit Substitution.  Willkommen auf dem Kanal von EducaNova. Hier findet ihr viele Lernvideos zu Themen aus der Mathematik und der Physik auf der Sekundarstufe 2.

Transcript

00:00Gewisse Exponentialgleichungen kann man mit der Substitutionsmethode lösen.

00:05In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel an, wie man dabei vorgeht.

00:13In dieser Exponentialgleichung haben wir Summen, das heißt, dass wir diese Gleichung nicht einfach logarithmieren können.

00:21Wir können sie aber mittels Substitution lösen.

00:25Beginnen wir mit der Definitionsmenge.

00:27Für x gibt es keine Einschränkungen.

00:32Also entspricht die Definitionsmenge der Grundmenge.

00:37Das sind alle reellen Zahlen.

00:39Kommen wir zur Gleichung selbst.

00:42Die gesuchte Größe x kommt in zwei Exponenten vor.

00:47Die Potenzen haben alle die gleiche Basis, und die Exponenten unterscheiden sich nur um einen Faktor, also mal 2.

00:54Somit ist der eine Exponent, ein ganzzahliges Vielfaches des anderen.

01:00Nach den Potenzgesetzen können wir 3 hoch 2x schreiben, als 3 hoch x hoch 2.

01:08Das Video unter dem Link 1 beschreibt dieses Potenzgesetz etwas genauer.

01:13Den Rest der Gleichung übernehmen wir unverändert.

01:18Die gesuchte Größe x kommt jetzt nur in gleichen Potenzen vor.

01:23Wir substituieren, das heißt wir ersetzen, die Potenz durch eine neue Variable.

01:28Dazu wählen wir einen Buchstaben, der in der Gleichung noch nicht verwendet wird.

01:35In dem Fall ersetzen wir 3 hoch x durch den Buchstaben m.

01:40Es entsteht eine einfache quadratische Gleichung mit der unbekannten m.

01:45Die Gleichung liegt bereits in der allgemeinen Form vor, also können wir sie direkt mit dem Zweiklammeransatz faktorisieren.

01:52Faktorisiert erhalten wir m minus 1 mal m minus 4.

01:59Ein Produkt ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

02:04Als Alternative können wir sie mit der ABC-Formel lösen.

02:09Dabei ist a gleich 1, b ist minus 5 und c ist 4.

02:15Wir erhalten in beiden Fällen die beiden Lösungen 1 und 4.

02:19Als nächstes machen wir die Substitution rückgängig.

02:25Das heißt, wir setzen die beiden Lösungen einzeln in die Substitutionsgleichung ein.

02:31Wenn wir m1 einsetzen, erhalten wir die Gleichung 3 hoch x gleich 1.

02:371 können wir auch schreiben als 3 hoch 0.

02:41Wenn in einer Gleichung die Basis auf beiden Seiten gleich ist, müssen auch die Exponenten gleich sein.

02:47Das heißt, wir können die Exponenten gleichsetzen.

02:52Wir erhalten für x den Wert 0.

02:55Das ist die erste Lösung der ursprünglichen Gleichung.

02:59Nun setzen wir den zweiten Wert in die Substitutionsgleichung ein.

03:04Wir erhalten die Gleichung 3 hoch x gleich 4.

03:08Wir logarithmieren die beiden Seiten der Gleichung.

03:13Nach den Logarithmengesetzen können die Exponenten als Faktor vor den Logarithmus genommen werden.

03:19Das Video unter dem Link 2 beschreibt dieses Logarithmengesetz etwas genauer.

03:26Wir dividieren die Gleichung durch den Logarithmus von 3.

03:29Nun können wir den Wert von x mit Hilfe des Taschenrechners bestimmen.

03:35Wir runden das Resultat auf 4 Nachkommastellen und erhalten 1,2619.

03:43Das ist die zweite Lösung der ursprünglichen Gleichung.

03:47Beide Werte sind in der Definitionsmenge enthalten und sind somit gerade die Lösungsmenge.

03:52Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.

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