00:00Bei manchen Exponentialgleichungen haben wir im Exponenten einen Bruch.
00:05In diesem Video lösen wir eine solche Exponentialgleichung.
00:12Wir haben hier eine Exponentialgleichung in der Grundform, also müssen wir keine speziellen Lösungsverfahren verwenden.
00:20Als erstes bestimmen wir die Definitionsmenge.
00:24Der Exponent auf der linken Seite der Gleichung ist ein Bruch, bei dem x im Nenner vorkommt.
00:30Damit dieser Nenner nicht Null wird, darf x nicht 1 sein.
00:36Die Definitionsmenge sind somit alle reellen Zahlen ohne 1.
00:41Die gesuchte Größe x befindet sich im Exponenten.
00:46Um dies zu ändern, werden beide Seiten der Gleichung logarithmiert.
00:51Achtet darauf, dass ihr jeweils den Logarithmus von der ganzen linken bzw. rechten Seite der Gleichung nehmt.
00:57Nach den Logarithmengesetzen können die Exponenten als Faktor vor den Logarithmus genommen werden.
01:04Also haben wir auf der linken Seite der Gleichung, 1, geteilt durch x, minus 1, mal den Logarithmus von 64.
01:14Auf der rechten Seite ist der Exponent x, also haben wir x, mal den Logarithmus von 2.
01:20Als nächstes multiplizieren wir die Gleichung mit x, minus 1, damit x, nicht mehr im Nenner vorkommt.
01:30Also gibt das auf der linken Seite der Gleichung, den Logarithmus von 64, und auf der rechten Seite, x, minus 1, mal x, mal den Logarithmus von 2.
01:40Unsere Gleichung ist nun frei von Brüchen.
01:45Wir dividieren die Gleichung durch den Logarithmus von 2.
01:49Also haben wir auf der linken Seite den Logarithmus von 64, geteilt durch den Logarithmus von 2.
01:57Und auf der rechten Seite können wir x, minus 1, mal x, ausmultiplizieren, das gibt x², minus x.
02:05Die linke Seite gibt ausgerechnet 6.
02:10Das können wir entweder mit dem Taschenrechner machen, oder mit der Überlegung, 2, hoch was, gibt 64.
02:18Die rechte Seite übernehmen wir unverändert.
02:22Wir haben jetzt eine Gleichung, bei der die unbekannte Größe im Quadrat vorkommt, also handelt es sich um eine quadratische Gleichung.
02:30Wir ordnen die Gleichung so um, dass wir die allgemeine Form der quadratischen Gleichung erhalten.
02:38Das erreichen wir, indem wir 6 subtrahieren.
02:42Jetzt können wir diese Gleichung entweder mit dem Zweiklammeransatz, oder mit der ABC-Formel lösen.
02:50Den Zweiklammeransatz schauen wir uns im Video unter dem Link 1 in der Beschreibung etwas genauer an.
02:55Eine entsprechende Anleitung für die ABC-Formel findet ihr unter dem Link 2.
03:02Beim Zweiklammeransatz erhalten wir die Gleichung 0, gleich x, plus 2, mal x, minus 3.
03:10Ein Produkt ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
03:15Wenn wir die ABC-Formel verwenden, setzen wir für a, 1 ein, für b, minus 1, und für c, minus 6.
03:23Mit beiden Methoden erhalten wir die beiden Lösungen, minus 2 und plus 3.
03:30Beide Werte sind in der Definitionsmenge enthalten und sind somit gerade die Lösungsmenge.
03:37Eine Probe ist nicht nötig, weil wir keine nichtäquivalente Umformungen verwendet haben.
03:42Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
Schreibe den ersten Kommentar