Fläche maximieren mit quadratischen Funktionen

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Transcript

00:00Mit quadratischen Funktionen kann man den Flächeninhalt eines Rechtecks maximieren.

00:05In diesem Video schauen wir uns an, wie man dabei vorgeht.

00:12Wir haben hier eine Aufgabenstellung, bei der wir mit 100 Meter Zaun ein möglichst großes, rechteckiges Stück Land abstecken sollen.

00:22Dabei ist auf einer Seite das Grundstück durch einen See begrenzt.

00:26Dort braucht es also keinen Zaun.

00:30Gesucht ist also die Länge und die Breite des Grundstücks.

00:34Definieren wir L als die Länge und B als die Breite des Grundstücks in Meter.

00:41Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich aus Länge mal Breite.

00:46Das ist eine erste Gleichung.

00:49Die Zaunlänge ist die Länge plus zweimal die Breite.

00:54Das sind total 100 Meter.

00:56Beachtet, dass das Ufer keinen Zaun benötigt.

01:00Dann lösen wir die Gleichung nach L auf, indem wir 2b subtrahieren.

01:06Das ist unsere zweite Gleichung.

01:10Jetzt können wir die Gleichung 2 in die Gleichung 1 einsetzen, indem wir das L durch 100 minus 2b ersetzen.

01:18Wir haben nun eine Funktion, die den Flächeninhalt als Funktion der Breite beschreibt.

01:30Da der Koeffizient des quadratischen Glieds negativ ist, haben wir ein Maximum.

01:36Das Maximum können wir mit Hilfe des Scheitelpunktes bestimmen.

01:41Mit dieser Formel können wir ihn berechnen.

01:44Die x-Koordinate ist minus b geteilt durch 2a, wobei a minus 2 und b 100 ist.

01:53Das gibt ausgerechnet 25.

01:57Die y-Koordinate ist c minus b² geteilt durch 4a.

02:03a und b sind die gleichen Werte, c kommt in der Funktionsgleichung nicht vor, also ist c 0.

02:11Ausgerechnet gibt das 1250.

02:15Somit hat der Scheitelpunkt die Koordinaten, 25, zu 1250.

02:22Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist die Breite, bei der der Flächeninhalt maximal

02:29wird, also beträgt die Breite 25 m.

02:32Die Länge ist nach der zweiten Formel, 100 m, minus 2 mal die Breite, also 50 m.

02:39Die y-Koordinate des Scheitelpunktes entspricht dem maximalen Flächeninhalt, also beträgt

02:46dieser 1250 m².

02:49Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.

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