00:00Manche Exponentialgleichungen haben auf der einen Seite, vor der Potenz, einen zusätzlichen Faktor.
00:07In diesem Video lösen wir eine solche Exponentialgleichung.
00:14Wir haben hier eine Exponentialgleichung, bei der auf der linken Seite ein Produkt, also 7, mal eine Potenz, und auf der rechten Seite nur eine Potenz steht.
00:25Als erstes bestimmen wir den Definitionsbereich.
00:28x kommt nur in den Exponenten in lineare Form vor.
00:34Also gibt es für x keine Einschränkungen.
00:38Somit entspricht die Definitionsmenge der Grundmenge.
00:42Das sind alle reellen Zahlen.
00:45Die gesuchte Größe x befindet sich im Exponenten.
00:49Die Gleichung kann direkt logarithmiert werden, weil keine Summen vorkommen.
00:54Achtet darauf, dass ihr jeweils den Logarithmus von der ganzen linken, beziehungsweise rechten Seite der Gleichung nehmt.
01:03Nach den Logarithmengesetzen kann das Produkt auf der linken Seite in eine Summe aufgeteilt werden.
01:09Beim zweiten Faktor können wir den Exponenten als Faktor vor den Logarithmus nehmen.
01:21Auf der rechten Seite der Gleichung haben wir ebenfalls einen Exponenten, also gibt das 2x, plus 1, mal den Logarithmus von 4.
01:37Als nächstes multiplizieren wir die Klammern vor den Logarithmen aus.
01:43Auf der linken Seite gibt das einmal den Logarithmus von 3, oder einfach den Logarithmus von 3, minus 2x, mal den Logarithmus von 3,
01:52und auf der rechten Seite gibt das 2x, mal den Logarithmus von 4, plus den Logarithmus von 4.
01:58Als nächstes wollen wir alle Summanden, die x, enthalten, auf die linke Seite der Gleichung bringen,
02:06und alle Summanden, die x, nicht enthalten, auf die andere Seite.
02:11Das erreichen wir, indem wir 2x, mal den Logarithmus von 4, subtrahieren,
02:17sowie den Logarithmus von 7, und den Logarithmus von 3, subtrahieren.
02:23Jetzt können wir auf der linken Seite x, ausklammern.
02:26Wir dividieren durch den Faktor neben x, also durch minus 2, mal den Logarithmus von 3, minus 2, mal den Logarithmus von 4,
02:36damit x, alleine auf einer Seite der Gleichung steht.
02:40Wir können nun die Werte in den Taschenrechner eingeben, um die Lösung zu bestimmen.
02:46Das Resultat ist irrational, also runden wir es auf 4 Nachkommastellen.
02:52Wir erhalten ungefähr 0,3337.
02:56Dieser Wert ist in der Definitionsmenge enthalten und ist somit gerade die Lösungsmenge.
03:04Eine Probe ist nicht nötig, weil wir keine nicht-äquivalente Umformungen verwendet haben.
03:10Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
03:16weiter, und wir gehen.
03:23Dann gab es noch einen oft an ein 8.
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