00:00Umsatzwachstum kann man mit einer Exponentialfunktion beschreiben.
00:04In diesem Video schauen wir uns an, wie man dabei vorgeht.
00:11Als Ausgangslage haben wir einen Produzenten von Computerteilen,
00:16der im ersten Jahr einen Umsatz von 2 Millionen Franken erwirtschaftet hat.
00:21Er rechnet in den nächsten 5 Jahren mit einem jährlichen Umsatzwachstum von 8%.
00:26In der ersten Aufgabe sollen wir die Funktionsgleichung für dieses Wachstum aufstellen.
00:33Die Funktion sieht grundsätzlich so aus.
00:37kn ist der Umsatz nach n Jahren, k0 ist der Umsatz zu Beginn, mal q hoch n,
00:43wobei q, der Wachstumsfaktor, und n, die Anzahl Jahre ist.
00:49Der Wachstumsfaktor berechnet sich allgemein aus 100%, plus den Prozentsatz, geteilt durch 100%.
00:56Die Klammer kann man auch schreiben, als 1, plus den Zinssatz, geteilt durch 100%.
01:03Wenn wir das in der gewünschten Form, k0, mal q, hoch n, schreiben wollen,
01:09dann haben wir 2 Millionen, mal Klammer 1, plus 0,08, hoch n.
01:14Bei der nächsten Frage sollen wir berechnen, wie groß der Umsatz nach 5 Jahren ist.
01:28Wir setzen für n den Wert 5 ein und erhalten ausgerechnet 2.938.656 Franken.
01:36Weiter ist gefragt, nach wie vielen Jahren der Umsatz mehr als 5 Millionen Franken beträgt.
01:45Also heißt das, dass die Funktion größer als 5 Millionen sein muss.
01:51Wir dividieren die Ungleichung durch 2 Millionen und logarithmieren anschließend beide Seiten der Gleichung.
01:57Nach den Logarithmengesetzen können wir den Exponenten n vor den Logarithmus nehmen.
02:04Geteilt durch den Logarithmus von 1,08 ergibt das, dass n größer als 11,91 sein muss.
02:13Also lautet die Antwort, nach 12 Jahren.
02:17Die letzte Frage lautet, wie groß das Wachstum sein muss,
02:21wenn die 5 Millionen Franken 2 Jahre früher erreicht werden sollen.
02:26Wir setzen die gegebenen Größen ein, das heißt, die Dauer ist 10 Jahre,
02:31und erhalten eine Gleichung, bei der der Wachstumsfaktor die gesuchte Größe ist.
02:37Wir dividieren durch 2 Millionen und ziehen die zehnte Wurzel.
02:42Also ist der Wachstumsfaktor ungefähr 1,096.
02:46Wenn wir diese Zahl mit 100 multiplizieren und die 100% abziehen,
02:52erhalten wir ein Wachstum von 9,6%.
02:55Mit diesem Video geht es weiter,
02:59und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
03:02Und hier oben geht es weiter,
03:17und Tensor.
03:28Ich hoffe das 오늘.
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