Umsatzwachstum mit Exponentialfunktion beschreiben

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Umsatzwachstum mit Exponentialfunktion beschreiben  Willkommen auf dem Kanal von EducaNova. Hier findet ihr viele Lernvideos zu Themen aus der Mathematik und der Physik auf der Sekundarstufe 2.

Transcript

00:00Umsatzwachstum kann man mit einer Exponentialfunktion beschreiben.

00:04In diesem Video schauen wir uns an, wie man dabei vorgeht.

00:11Als Ausgangslage haben wir einen Produzenten von Computerteilen,

00:16der im ersten Jahr einen Umsatz von 2 Millionen Franken erwirtschaftet hat.

00:21Er rechnet in den nächsten 5 Jahren mit einem jährlichen Umsatzwachstum von 8%.

00:26In der ersten Aufgabe sollen wir die Funktionsgleichung für dieses Wachstum aufstellen.

00:33Die Funktion sieht grundsätzlich so aus.

00:37kn ist der Umsatz nach n Jahren, k0 ist der Umsatz zu Beginn, mal q hoch n,

00:43wobei q, der Wachstumsfaktor, und n, die Anzahl Jahre ist.

00:49Der Wachstumsfaktor berechnet sich allgemein aus 100%, plus den Prozentsatz, geteilt durch 100%.

00:56Die Klammer kann man auch schreiben, als 1, plus den Zinssatz, geteilt durch 100%.

01:03Wenn wir das in der gewünschten Form, k0, mal q, hoch n, schreiben wollen,

01:09dann haben wir 2 Millionen, mal Klammer 1, plus 0,08, hoch n.

01:14Bei der nächsten Frage sollen wir berechnen, wie groß der Umsatz nach 5 Jahren ist.

01:28Wir setzen für n den Wert 5 ein und erhalten ausgerechnet 2.938.656 Franken.

01:36Weiter ist gefragt, nach wie vielen Jahren der Umsatz mehr als 5 Millionen Franken beträgt.

01:45Also heißt das, dass die Funktion größer als 5 Millionen sein muss.

01:51Wir dividieren die Ungleichung durch 2 Millionen und logarithmieren anschließend beide Seiten der Gleichung.

01:57Nach den Logarithmengesetzen können wir den Exponenten n vor den Logarithmus nehmen.

02:04Geteilt durch den Logarithmus von 1,08 ergibt das, dass n größer als 11,91 sein muss.

02:13Also lautet die Antwort, nach 12 Jahren.

02:17Die letzte Frage lautet, wie groß das Wachstum sein muss,

02:21wenn die 5 Millionen Franken 2 Jahre früher erreicht werden sollen.

02:26Wir setzen die gegebenen Größen ein, das heißt, die Dauer ist 10 Jahre,

02:31und erhalten eine Gleichung, bei der der Wachstumsfaktor die gesuchte Größe ist.

02:37Wir dividieren durch 2 Millionen und ziehen die zehnte Wurzel.

02:42Also ist der Wachstumsfaktor ungefähr 1,096.

02:46Wenn wir diese Zahl mit 100 multiplizieren und die 100% abziehen,

02:52erhalten wir ein Wachstum von 9,6%.

02:55Mit diesem Video geht es weiter,

02:59und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.

03:02Und hier oben geht es weiter,

03:17und Tensor.

03:28Ich hoffe das 오늘.

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