00:01Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die gesuchte Größe im Exponenten steht.
00:07In diesem Video lösen wir die Gleichung 2 hoch x gleich 7 hoch x minus 2.
00:15Wir haben hier eine Beispielaufgabe, bei der zwei Potenzen gleichgesetzt sind, also 2 hoch x gleich 7 hoch x minus 2.
00:25Es handelt sich um eine einfache Exponentialgleichung, das heißt, es müssen keine speziellen Verfahren angewendet werden.
00:34Als erstes bestimmen wir den Definitionsbereich.
00:39x kommt nur in den Exponenten in linearer Form vor.
00:44Also gibt es für x keine Einschränkungen.
00:48Somit entspricht die Definitionsmenge der Grundmenge.
00:52Das sind alle reellen Zahlen.
00:53Die gesuchte Größe x befindet sich im Exponenten.
00:59Um dies zu ändern, werden beide Seiten der Gleichung logarithmiert.
01:05Achtet darauf, dass ihr jeweils den Logarithmus von der ganzen linken, bzw. rechten Seite der Gleichung nehmt.
01:13Nach dem dritten Logarithmengesetz können wir die Exponenten als Faktor vor den Logarithmus nehmen.
01:18Auf der linken Seite haben wir im Exponenten ein x, also gibt das x mal den Logarithmus von 2.
01:27Auf der rechten Seite ist der Exponent x minus 2, also erhalten wir x minus 2 mal den Logarithmus von 7.
01:35Achtet darauf, dass ihr x minus 2 in Klammern setzt.
01:40Als nächstes multiplizieren wir die Klammer x minus 2 aus.
01:46Die linke Seite bleibt vorerst unverändert.
01:49Wir erhalten auf der rechten Seite x mal den Logarithmus von 7 minus 2 mal den Logarithmus von 7.
01:58Um alle Summanden, die x enthalten, auf die gleiche Seite der Gleichung zu bekommen, subtrahieren wir x mal den Logarithmus von 7.
02:09Nun können wir auf der linken Seite x ausklammern.
02:13Wir dividieren durch den Faktor neben x, also durch den Logarithmus von 2, minus den Logarithmus von 7, damit x alleine auf einer Seite der Gleichung steht.
02:23Wir können nun die Werte in den Taschenrechner eingeben, um die Lösung zu bestimmen.
02:30Das Resultat ist irrational, also runden wir es auf 4 Nachkommastellen.
02:36Wir erhalten 3,1066.
02:40Dieser Wert ist in der Definitionsmenge enthalten und ist somit gerade die Lösungsmenge.
02:47Eine Probe ist nicht nötig, weil wir keine nichtäquivalente Umformungen verwendet haben.
02:53Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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