00:00Manche Exponentialgleichungen, die Summen enthalten, kann man mit Faktorisieren lösen.
00:06In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel an, wie man dabei vorgeht.
00:14In dieser Exponentialgleichung haben wir Summen, das heißt, dass wir diese Gleichung nicht einfach logarithmieren können.
00:22Wir können sie aber mittels Faktorisierung lösen.
00:26Beginnen wir mit der Definitionsmenge.
00:30Für x gibt es keine Einschränkungen.
00:33Also entspricht die Definitionsmenge der Grundmenge.
00:38Das sind alle reellen Zahlen.
00:40Um gleiche Potenzen zu erhalten, müssen wir die Basen angleichen.
00:45Die erste Basis, 81, können wir schreiben als 9 hoch 2.
00:51Die zweite Basis ist bereits 9, also übernehmen wir diese Potenz unverändert.
00:56Auf der rechten Seite haben wir einen Exponenten, 4x, den wir als 2 mal 2x, schreiben können.
01:05Das Video unter dem Link 1 beschreibt dieses Potenzgesetz etwas genauer.
01:10Den Summanden, 21, übernehmen wir unverändert.
01:15Auf der linken Seite können wir 9 hoch 2 hoch x plus 0,25 verrechnen zu 9 hoch 2x mal 9 hoch 0,5 und 9 hoch 2x minus 0,5 können wir schreiben als 9 hoch 2x mal 9 hoch minus 0,5.
01:36Das Video unter dem Link 2 beschreibt dieses Potenzgesetz etwas genauer.
01:42Auf der rechten Seite können wir 3 hoch 2 ausrechnen, das gibt 9.
01:48Die 21 bleibt weiterhin unverändert.
01:51Wir haben damit erreicht, dass die gesuchte Größe x nur in gleichen Potenzen vorkommt.
01:59Wir formen die Gleichung so weit um, dass alle Summanden, die x, enthalten, auf einer Seite der Gleichung sind, und alle Summanden, die x, nicht enthalten, auf der anderen Seite der Gleichung sind.
02:12Das erreichen wir, indem wir 9 hoch 2x subtrahieren.
02:18In jedem Summanden auf der linken Seite kommt der Faktor 9 hoch 2x vor.
02:24Wir können also 9 hoch 2x ausklammern.
02:29Da die Klammer nur Zahlen enthält, könnte man diese schon hier ausrechnen.
02:34Wir dividieren durch die Klammer, damit die 9 hoch 2x alleine auf einer Seite der Gleichung steht.
02:42Jetzt rechnen wir die rechte Seite der Gleichung aus, und erhalten 9.
02:46Wenn wir 9 hoch 1 schreiben, sehen wir, dass wir auf beiden Seiten Potenzen mit der gleichen Basis haben.
02:55Wenn die Basis auf beiden Seiten gleich ist, muss auch der Exponent gleich sein.
03:00Also ist 2x gleich 1.
03:04Wir dividieren durch 2, und erhalten für x den Wert 0,5.
03:080,5 ist in der Definitionsmenge enthalten und ist somit gerade die Lösungsmenge.
03:16Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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