00:00Wenn Potenzen nochmals potenziert werden, können diese vereinfacht werden.
00:05In diesem Video schauen wir uns an ein paar Beispielen an, wie man Potenzen potenziert.
00:13Beginnen wir mit ein paar theoretischen Grundlagen.
00:18Nehmen wir an, wir wollen die Potenz a hoch m hoch n vereinfachen.
00:23Wir können schreiben, dass wir n mal den Faktor a hoch m multiplizieren.
00:30Nach den Potenzgesetzen können wir die Exponenten addieren, also haben wir n mal den Summanden m.
00:37Also haben wir a hoch m mal n.
00:41Also lautet das Potenzgesetz a hoch m hoch n ist gleich a hoch m mal n.
00:48Oder, Potenzen werden potenziert, indem die Exponenten miteinander multipliziert werden.
00:54Weil m mal n das gleiche ist, wie n mal m, folgt aus diesem Gesetz, dass bei Potenzen die Reihenfolge der Exponenten vertauscht werden kann.
01:06Schauen wir uns das an ein paar Beispielaufgaben an.
01:10In diesem Beispiel rechnen wir a hoch 5 hoch 7 mal a hoch 3 hoch 4.
01:16Bei der ersten Potenz multiplizieren wir die Exponenten miteinander, also gibt das a hoch 5 mal 7.
01:24Und bei der zweiten Potenz sind die Exponenten 3 und 4, also gibt das a hoch 3 mal 4.
01:325 mal 7 gibt 35 und 3 mal 4 gibt 12.
01:37Weil wir zwei gleiche Basen haben, können wir die Exponenten addieren, also ist das Schlussresultat a hoch 7 und 40.
01:48Bei diesem Beispiel müssen wir zuerst die einzelnen Faktoren in den Klammern einzeln hoch den Exponenten rechnen.
01:56Der erste Faktor ist minus 3, also gibt das minus 3 hoch 4.
02:01Dann haben wir x hoch 3 hoch 4, das gibt x hoch 12.
02:05Beim zweiten Teil ist der erste Faktor wieder minus 3, also haben wir minus 3 hoch 3.
02:14Bei x hoch minus 2 ist zwar der Exponent negativ, es können aber trotzdem die Exponenten miteinander multipliziert werden, also gibt das x hoch minus 6.
02:26Wir haben jetzt zwei Potenzen mit der Basis minus 3, also können wir die Exponenten addieren und erhalten minus 3 hoch 7.
02:35Das gleiche gilt für die Potenzen mit der Basis x.
02:3912 minus 6 gibt 6, also gibt es x hoch 6.
02:45Jetzt rechnen wir noch minus 3 hoch 7 und wir erhalten als Schlussresultat minus 2187 x hoch 6.
02:54Das letzte Beispiel ist ein Bruch durch einen anderen Bruch.
03:00Betrachten wir die Zähler und die Nenner separat.
03:04Beim ersten Zähler rechnen wir jeden Faktor in der Klammer einzeln hoch den Exponenten.
03:09Also gibt 2 hoch den Exponenten, 2 hoch 3, dann x hoch 3, gibt x hoch 3, und y hoch 3, hoch 3, gibt y hoch 9.
03:22Im Nenner gehen wir gleich vor.
03:253 hoch 4, schreiben wir als 3 hoch 4, x hoch 2, hoch 4, gibt x hoch 8, und y hoch 4, gibt y hoch 4.
03:35Wenn wir durch einen Bruch dividieren, können wir einfach den Zähler und den Nenner tauschen und das geteilt durch Zeichen durch ein Malzeichen ersetzen.
03:45Im zweiten Zähler haben wir 2 hoch 3, aber wegen der Bruchdrehung schreiben wir 2 hoch 3 in den Nenner.
03:52Ebenso x hoch 5, hoch 3, gibt im Nenner x hoch 15, und y hoch 3, hoch 3, gibt y hoch 9.
04:02Im Nenner, den wir jetzt in den Zähler schreiben, haben wir 3, hoch 5, und wir schreiben 3 hoch 5, dann x hoch 4, hoch 5, gibt x hoch 20, und y hoch 5, gibt y hoch 5.
04:17Jetzt können wir die Potenzen mit der gleichen Basis zusammenfassen.
04:22Die Exponenten im Zähler rechnen wir plus, die Exponenten im Nenner minus.
04:282 hoch 3, geteilt durch 2 hoch 3, gibt 2 hoch 3, minus 3.
04:34Bei der Basis 3, haben wir im Zähler den Exponenten 5, und im Nenner 4, also gibt das 3, hoch 5, minus 4.
04:42Bei x, haben wir hoch 3, plus 20, minus 8, minus 15, und bei y, 9, plus 5, minus 4, minus 9.
04:54Bei der Basis 2, gibt der Exponent 0, also gibt das den Faktor 1, den wir nicht hinschreiben.
05:01Bei der Basis 3, gibt der Exponent 1, also gibt das 3.
05:07Der Exponent bei x, gibt 0, also schreiben wir auch da nichts hin, und bei y, gibt der Exponent 1, also schreiben wir y, hin.
05:18Somit lautet das Schlussresultat, 3y.
05:20Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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