00:00Den Zerfall von Bierschaum kann man mit der natürlichen Exponentialfunktion, auch E-Funktion genannt, beschreiben.
00:07In diesem Video schauen wir uns an, wie man dabei vorgeht.
00:14Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet
00:18Wenn man ein trockenes Glas beim Einschenken von Bier nicht schräg hält, entsteht eine große Schaumsäule.
00:25Den Zerfall dieses Schaumes wollen ein paar Studenten mit einer Funktion beschreiben.
00:31Sie versuchen die Abnahme, respektive die Resthöhe der Schaumsäule alle 15 Sekunden festzuhalten, indem sie Striche am Glas anbringen.
00:41Die anschließende Messung der Markierungen ergibt, dass die Abnahme der Höhe ca. 10% des vorangehenden Wertes beträgt.
00:51Die Schaumsäule, zu Beginn der Messung, ist 10 cm hoch.
00:55Der Versuch wird mehrmals wiederholt.
00:59Wir versuchen nun, diesen Schaumzerfall mit einer E-Funktion zu beschreiben.
01:05Die Funktion hat die Form, H von T, ist gleich K, mal E, hoch B, mal T, wobei H von T, die Schaumhöhe in Zentimeter ist, und T, die Zeit in Sekunden.
01:17Wenn alle 15 Sekunden, 10% des Schaums zerfallen, bedeutet das, dass noch 90% vom Schaum übrig ist, also ist A, gleich 0,9.
01:28Wenn wir es in die Allgemeinform der Exponentialfunktion der Form, K, mal A, hoch T, haben, dann ist A, das gleiche, wie E, hoch B.
01:40Wir nehmen auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus.
01:43Da der natürliche Logarithmus von E, gerade 1 ist, ist B, der natürliche Logarithmus von A.
01:51Also ist in unserem Beispiel, B, der natürliche Logarithmus von 0,9.
01:57Kombiniert mit den 15 Sekunden, erhalten wir als Funktion, H von T, ist gleich 10, mal E, hoch der natürliche Logarithmus von 0,9, geteilt durch 15, mal T.
02:11Das ist die exakte Lösung.
02:14Wenn wir den natürlichen Logarithmus von 0,9, durch 15 teilen, erhalten wir, minus 0,007024.
02:23Diese Gleichung ist hinreichend genau.
02:28Bierbrauer sind davon überzeugt, dass wenn die Säulenhöhe des Bierschaums sich alle 95 bis 100 Sekunden halbiert, dann haben wir eine gute Bierqualität.
02:39Das wollen wir an diesem Beispiel überprüfen.
02:42Wir setzen für die Höhe die Hälfte, also 5 cm, ein.
02:48Wir dividieren die Gleichung durch 10 und nehmen anschließend auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus.
02:54Wir dividieren durch den Faktor neben T und erhalten für T 98,7.
03:02Diese 98,7 Sekunden liegen zwischen 95 und 100 Sekunden, also handelt es sich um eine gute Bierqualität.
03:10Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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