Exponentialgleichung: Exponentenvergleich

Mathematik - EducaNova

In diesem Video lösen wir eine einfache Exponentialgleichung mit einem Exponentenvergleich.  Willkommen auf dem Kanal von EducaNova. Hier findet ihr viele Lernvideos zu Themen aus der Mathematik und der Physik auf der Sekundarstufe 2.

Transcript

00:00Der Exponentenvergleich ist eine Methode, um Exponentialgleichungen zu lösen.

00:05In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel an, wie man dabei vorgeht.

00:13Wir haben hier eine Exponentialgleichung, bei der Wurzeln vorkommen.

00:19Sie kann mit einem Exponentenvergleich gelöst werden.

00:23Dazu müssen wir als erstes die Wurzeln als Potenzen schreiben.

00:27Die linke Seite können wir schreiben als 25 hoch x plus 3 geteilt durch x.

00:35Auf der rechten Seite erhalten wir 5 hoch x geteilt durch 2.

00:41Ein Video, in dem genauer beschrieben wird, wie man Wurzeln als Potenzen schreiben kann, findet ihr unter dem Link 1 in der Beschreibung.

00:50Wenn wir die Gleichung in dieser Form haben, können wir die Definitionsmenge bestimmen.

00:55x kommt im Nenner des linken Exponenten vor.

01:01Damit der Nenner nicht Null wird, darf x nicht Null sein.

01:05Somit ist die Definitionsmenge alle reellen Zahlen ohne Null.

01:10Als nächstes wollen wir die Gleichung so umformen, dass wir auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Basis haben.

01:16Das erreichen wir, indem wir 25 durch 5 hoch 2 ausdrücken.

01:24Auf der rechten Seite haben wir bereits die Basis 5.

01:28Die beiden Exponenten auf der linken Seite können wir nach den Potenzgesetzen miteinander multiplizieren.

01:34Ein Video, in dem dieses Potenzgesetz genauer beschrieben wird, findet ihr unter dem Link 2 in der Beschreibung.

01:43Die rechte Seite lassen wir so stehen.

01:47Wenn in einer Gleichung die Basis auf beiden Seiten gleich ist, müssen auch die Exponenten gleich sein.

01:53Das heißt, wir können die Exponenten gleichsetzen.

01:58Wir erhalten eine Bruchgleichung.

02:01Wir multiplizieren diese Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, also mit 2x, damit die Brüche verschwinden.

02:09Das Video unter dem Link 3 beschreibt dieses Verfahren etwas genauer.

02:15Wir erhalten eine Gleichung, in der x im Quadrat vorkommt.

02:20Wir ordnen die Gleichung so um, dass wir die allgemeine Form der quadratischen Gleichung erhalten.

02:27Dazu subtrahieren wir 4x und 12.

02:31Jetzt können wir diese Gleichung entweder mit dem Zweiklammeransatz oder mit der ABC-Formel lösen.

02:37Beim Zweiklammeransatz erhalten wir die Gleichung 0 gleich x plus 2 mal x minus 6.

02:46Ein Produkt ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

02:51Wenn wir die ABC-Formel verwenden, setzen wir für A 1 ein, für B minus 4 und für C minus 12.

03:00Das Video unter dem Link 4 beschreibt die ABC-Formel etwas genauer.

03:05Mit beiden Methoden erhalten wir die beiden Lösungen, minus 2 und plus 6.

03:12Beide Werte sind in der Definitionsmenge enthalten und sind somit gerade die Lösungsmenge.

03:17Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.

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