00:00Der Exponentenvergleich ist eine Methode, um Exponentialgleichungen zu lösen.
00:05In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel an, wie man dabei vorgeht.
00:13Wir haben hier eine Exponentialgleichung, bei der Wurzeln vorkommen.
00:19Sie kann mit einem Exponentenvergleich gelöst werden.
00:23Dazu müssen wir als erstes die Wurzeln als Potenzen schreiben.
00:27Die linke Seite können wir schreiben als 25 hoch x plus 3 geteilt durch x.
00:35Auf der rechten Seite erhalten wir 5 hoch x geteilt durch 2.
00:41Ein Video, in dem genauer beschrieben wird, wie man Wurzeln als Potenzen schreiben kann, findet ihr unter dem Link 1 in der Beschreibung.
00:50Wenn wir die Gleichung in dieser Form haben, können wir die Definitionsmenge bestimmen.
00:55x kommt im Nenner des linken Exponenten vor.
01:01Damit der Nenner nicht Null wird, darf x nicht Null sein.
01:05Somit ist die Definitionsmenge alle reellen Zahlen ohne Null.
01:10Als nächstes wollen wir die Gleichung so umformen, dass wir auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Basis haben.
01:16Das erreichen wir, indem wir 25 durch 5 hoch 2 ausdrücken.
01:24Auf der rechten Seite haben wir bereits die Basis 5.
01:28Die beiden Exponenten auf der linken Seite können wir nach den Potenzgesetzen miteinander multiplizieren.
01:34Ein Video, in dem dieses Potenzgesetz genauer beschrieben wird, findet ihr unter dem Link 2 in der Beschreibung.
01:43Die rechte Seite lassen wir so stehen.
01:47Wenn in einer Gleichung die Basis auf beiden Seiten gleich ist, müssen auch die Exponenten gleich sein.
01:53Das heißt, wir können die Exponenten gleichsetzen.
01:58Wir erhalten eine Bruchgleichung.
02:01Wir multiplizieren diese Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, also mit 2x, damit die Brüche verschwinden.
02:09Das Video unter dem Link 3 beschreibt dieses Verfahren etwas genauer.
02:15Wir erhalten eine Gleichung, in der x im Quadrat vorkommt.
02:20Wir ordnen die Gleichung so um, dass wir die allgemeine Form der quadratischen Gleichung erhalten.
02:27Dazu subtrahieren wir 4x und 12.
02:31Jetzt können wir diese Gleichung entweder mit dem Zweiklammeransatz oder mit der ABC-Formel lösen.
02:37Beim Zweiklammeransatz erhalten wir die Gleichung 0 gleich x plus 2 mal x minus 6.
02:46Ein Produkt ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
02:51Wenn wir die ABC-Formel verwenden, setzen wir für A 1 ein, für B minus 4 und für C minus 12.
03:00Das Video unter dem Link 4 beschreibt die ABC-Formel etwas genauer.
03:05Mit beiden Methoden erhalten wir die beiden Lösungen, minus 2 und plus 6.
03:12Beide Werte sind in der Definitionsmenge enthalten und sind somit gerade die Lösungsmenge.
03:17Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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