00:00Wenn bei einer Exponentialgleichung beide Seiten der Gleichung auf die gleiche Basis gebracht werden können, kann man einen Exponentenvergleich machen.
00:09In diesem Video schauen wir uns an, wie man dabei vorgeht.
00:16Auf der linken Seite der Gleichung haben wir den Faktor 3 vor der Potenz, den wir als 3 hoch 1 schreiben können.
00:24Auf der rechten Seite können wir die 81 als 3 hoch 4 schreiben.
00:30So erreichen wir, dass wir die gleiche Basis, wie auf der linken Seite der Gleichung haben.
00:37Nach den Potenzgesetzen können wir auf der linken Seite der Gleichung die Exponenten addieren, weil wir die gleiche Basis haben.
00:45Das Video unter dem Link 1 beschreibt dieses Potenzgesetz etwas genauer.
00:51Auf der rechten Seite können wir die Wurzel als Potenz schreiben.
00:54Das Video unter dem Link 2 beschreibt etwas genauer, wie man Wurzeln als Potenzen schreiben kann.
01:02Wenn wir die Gleichung in dieser Form haben, können wir die Definitionsmenge bestimmen.
01:09x kommt im Nenner des rechten Exponenten vor.
01:13Damit der Nenner nicht 0 wird, darf x nicht 1 sein.
01:18Somit ist die Definitionsmenge alle reellen Zahlen ohne 1.
01:22Als nächstes können wir den linken Exponenten noch vereinfachen, also 1 plus 2x minus 1 gibt 2x.
01:32Die Gleichung haben wir jetzt in der Form, dass auf beiden Seiten die Basis gleich ist.
01:37Also müssen auch die Exponenten gleich sein.
01:41Das heißt, wir können die Exponenten gleichsetzen.
01:46Wir erhalten eine Bruchgleichung.
01:49Jetzt können wir die Gleichung mit x minus 1 multiplizieren, damit x nicht mehr im Nenner vorkommt.
01:57Wir multiplizieren die Klammer aus und erhalten 2x² minus 2x.
02:03Wenn wir jetzt noch die 4 subtrahieren, erhalten wir eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form.
02:11Wir dividieren die Gleichung durch 2, um die Normalform zu erhalten.
02:16Die linke Seite der Gleichung können wir jetzt mit dem Zweiklammeransatz faktorisieren.
02:23Ein Produkt ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
02:28Alternativ können wir auch die ABC-Formel verwenden.
02:31Dabei ist a gleich 1, b ist minus 1 und c ist minus 2.
02:39Wir erhalten die beiden Lösungen, minus 1 und 2.
02:44Beide Werte sind in der Definitionsmenge enthalten und sind somit gerade die Lösungsmenge.
02:50Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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