00:00Manche Exponentialgleichungen, die Summen enthalten, kann man mit der Substitutionsmethode lösen.
00:07In diesem Video schauen wir uns an, wie man dabei vorgeht.
00:14In dieser Exponentialgleichung haben wir Summen, das heißt, dass wir diese Gleichung nicht einfach logarithmieren können.
00:22Wir können sie aber mittels Substitution lösen.
00:26Beginnen wir mit der Definitionsmenge.
00:28Für x gibt es keine Einschränkungen.
00:33Also entspricht die Definitionsmenge der Grundmenge.
00:37Das sind alle reellen Zahlen.
00:40Die gesuchte Größe x kommt in zwei Exponenten vor.
00:45Die eine Basis ist eine Potenz der anderen.
00:48Wir können die größere Basis, also 16, als Potenz der anderen Basis ausdrücken, damit wir die gleiche Basis haben.
00:56Also ersetzen wir 16, durch 4, hoch 2.
01:02Den Rest der Gleichung übernehmen wir unverändert.
01:06Damit beide Potenzen gleich sind, wechseln wir die Reihenfolge der Exponenten im ersten Summanden.
01:12Die gesuchte Größe x kommt jetzt nur in gleichen Potenzen vor.
01:18Das bedeutet, wir können sie substituieren, das heißt, wir ersetzen die Potenz, durch eine neue Variable.
01:26Hier nehmen wir dafür den Buchstaben M.
01:29Wichtig ist einfach, dass der Buchstabe noch nicht in der Gleichung verwendet wird.
01:35Es entsteht eine einfache quadratische Gleichung mit der unbekannten M.
01:41Die Gleichung liegt bereits in der allgemeinen Form vor, also können wir sie direkt mit dem Zweiklammeransatz faktorisieren.
01:48Faktorisiert, erhalten wir M, minus 2, mal M, minus 16.
01:55Ein Produkt ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
02:00Als Alternative können wir die ABC-Formel verwenden.
02:05A ist dabei 1, B ist minus 18, und C ist 32.
02:10Bei beiden Methoden erhalten wir die beiden Lösungen, 2 und 16.
02:17Als nächstes machen wir die Substitution rückgängig.
02:21Das heißt, wir setzen die beiden Lösungen einzeln in die Substitutionsgleichung ein.
02:27Wenn wir M1 einsetzen, erhalten wir die Gleichung 4, hoch x, minus 2, gleich 2.
02:34Die Basis 4, auf der linken Seite, können wir als 2, hoch 2, ausdrücken, die rechte Seite schreiben wir als 2, hoch 1, damit wir auf beiden Seiten eine Potenz mit der gleichen Basis haben.
02:48Wenn in einer Gleichung die Basis auf beiden Seiten gleich ist, müssen auch die Exponenten gleich sein.
02:54Als nächstes addieren wir 4, und dividieren anschließend durch 2.
03:00Wir erhalten 2,5, was die erste Lösung der ursprünglichen Gleichung ist.
03:06Nun setzen wir den zweiten Wert in die Substitutionsgleichung ein.
03:12Wir erhalten die Gleichung, 4, hoch x, minus 2, gleich 16.
03:1716, können wir schreiben, als 4, hoch 2.
03:21Auch hier können wir einen Exponentenvergleich machen.
03:26Wir addieren 2, und erhalten für x, den Wert 4, was die zweite Lösung der ursprünglichen Gleichung ist.
03:34Beide Werte sind in der Definitionsmenge enthalten und sind somit gerade die Lösungsmenge.
03:40Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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