00:00Gewisse Exponentialgleichungen können mit Faktorisieren gelöst werden.
00:05In diesem Video schauen wir uns an, wie man dabei vorgeht.
00:12In dieser Exponentialgleichung haben wir Summen, das heißt, dass wir diese Gleichung nicht einfach logarithmieren können.
00:20Wir können sie aber mittels Faktorisierung lösen.
00:24Beginnen wir mit der Definitionsmenge.
00:26Für x gibt es keine Einschränkungen.
00:31Also entspricht die Definitionsmenge der Grundmenge.
00:35Das sind alle reellen Zahlen.
00:38Kommen wir zur Gleichung selbst.
00:41Alle Potenzen haben die gleiche Basis, und die Exponenten unterscheiden sich nur um eine Differenz, also plus 3, beziehungsweise plus 2.
00:50Wir zerlegen die Potenzen, die im Exponenten eine Summe haben, nach den Potenzgesetzen in Faktoren.
00:59Also wird aus der ersten Potenz, 5 hoch x, mal 5 hoch 3, und aus der zweiten Potenz, 5 hoch x, mal 5 hoch 2.
01:07Das Video unter dem Link 1, beschreibt dieses Potenzgesetz etwas genauer.
01:12Die rechte Seite der Gleichung übernehmen wir unverändert.
01:18Wir haben damit erreicht, dass die gesuchte Größe x nur in gleichen Potenzen vorkommt.
01:24Wir formen die Gleichung so weit um, dass alle Summanden, die x, enthalten, auf der einen Seite der Gleichung sind, und alle Summanden, die x, nicht enthalten, auf der anderen Seite der Gleichung sind.
01:37Das erreichen wir, indem wir 5 hoch x subtrahieren.
01:43In jedem Summanden auf der linken Seite kommt der Faktor 5 hoch x vor.
01:49Wir können also 5 hoch x ausklammern.
01:53Da die Klammer nur Zahlen enthält, könnte man diese schon hier ausrechnen.
01:58Wir dividieren durch die Klammer, damit 5 hoch x alleine auf einer Seite der Gleichung steht.
02:03Jetzt rechnen wir die rechte Seite der Gleichung aus, und erhalten 1.
02:101 können wir darstellen als eine beliebige Basis hoch 0, also in diesem Fall, als 5 hoch 0.
02:17Wenn die Basis auf beiden Seiten gleich ist, muss auch der Exponent gleich sein.
02:23Also ist x gleich 0.
02:260 ist in der Definitionsmenge enthalten, und ist somit gerade die Lösungsmenge.
02:31Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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