00:00Logarithmen von zusammengesetzten Termen können oft in Logarithmen mit kleineren Termen zerlegt werden.
00:07In diesem Video schauen wir uns an, wie man dies mit Hilfe der Logarithmengesetzen macht.
00:15Schauen wir uns das Ganze an ein paar Beispielen an.
00:19Wir sollen die Terme mit Hilfe der Logarithmengesetzen so weit wie möglich zerlegen.
00:24Beim ersten Beispiel haben wir den 10er-Logarithmus von u hoch 3 mal v hoch 3.
00:32Hierbei handelt es sich um ein Produkt, also können wir das erste Logarithmengesetz anwenden.
00:39Das ist also der 10er-Logarithmus vom ersten Faktor, also von u hoch 3, plus der 10er-Logarithmus vom zweiten Faktor, also v hoch 3.
00:48Nach dem dritten Logarithmengesetz kann der Exponent jeweils als Vorfaktor nach vorne genommen werden.
00:57Der erste Exponent ist 3, also gibt das 3, mal den 10er-Logarithmus von u.
01:03Beim zweiten Summanden ist der Exponent ebenfalls 3, also gibt das 3, mal den 10er-Logarithmus von v.
01:10In jedem Logarithmus ist nur noch eine Variable zu finden, also können wir nicht weiter zerlegen.
01:18Beim nächsten Beispiel haben wir den 10er-Logarithmus von a mal b geteilt durch b².
01:26Hierbei handelt es sich um einen Quotienten.
01:30Nach dem zweiten Logarithmengesetz ist das der Logarithmus vom Zähler minus der Logarithmus vom Nenner.
01:36Also ist das das gleiche, wie der 10er-Logarithmus von a mal b minus den 10er-Logarithmus von b².
01:45Den 10er-Logarithmus von a mal b kann man nach dem ersten Logarithmengesetz aufteilen,
01:52in den 10er-Logarithmus von a plus den 10er-Logarithmus von b.
01:57Den 10er-Logarithmus von b² kann man nach dem dritten Logarithmengesetz umwandeln in 2, mal den 10er-Logarithmus von b.
02:06Der 10er-Logarithmus von a kann nicht weiter vereinfacht werden.
02:12Plus einmal den 10er-Logarithmus von b minus zweimal den 10er-Logarithmus von b kann man zusammenfassen als minus einmal den 10er-Logarithmus von b.
02:22Also erhalten wir als Resultat den 10er-Logarithmus von a minus den 10er-Logarithmus von b.
02:31Im nächsten Beispiel haben wir den Logarithmus von a mal die Wurzel von b durch f hoch 3 zur Basis a.
02:39a steht im Zähler, also haben wir den Logarithmus von a zur Basis a.
02:45Die Wurzel von b kann man schreiben als b hoch ein zweitel, also haben wir den Logarithmus von b hoch ein zweitel zur Basis a.
02:54f hoch 3 steht im Nenner, also haben wir minus den Logarithmus von f hoch 3 zur Basis a.
03:03Der Logarithmus von a zur Basis a ist 1.
03:06Beim zweiten Summanden können wir den Exponenten, also ein zweitel, als Faktor vor den Logarithmus nehmen.
03:15Auch beim letzten Summanden können wir den Exponenten 3 als Faktor vor den Logarithmus nehmen.
03:22Somit haben wir auch diesen Logarithmus vollständig zerlegt.
03:27Beim letzten Beispiel haben wir den natürlichen Logarithmus von einem Bruch.
03:32Im Nenner können wir 2 aus der Klammer nehmen.
03:36Weil der ganze Nenner im Quadrat ist, wird diese 2 quadriert, und somit haben wir einen Faktor 4.
03:44Die 4 lässt sich kürzen.
03:46Also sieht das Ganze jetzt so aus.
03:50x im Zähler führt zum natürlichen Logarithmus von x, die Klammer x minus y führt zu plus den Logarithmus von x minus y.
04:00Im Nenner haben wir als Exponenten 2.
04:03Diese 2, können wir als Faktor nach vorne nehmen, also gibt das minus 2, mal den natürlichen Logarithmus von x, minus y.
04:14Der natürliche Logarithmus von x, lassen wir so stehen.
04:18Der natürliche Logarithmus von x, minus y, minus 2, mal den natürlichen Logarithmus von x, minus y, können wir zusammenfassen, zu minus Logarithmus von x, minus y.
04:32Logarithmus von Summen oder Differenzen, können nicht weiter vereinfacht werden, also ist das unser Schlussresultat.
04:42Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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