00:00Manche Logarithmengleichungen kann man lösen, indem man die Numerie miteinander vergleicht.
00:06In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel an, wie man dabei vorgeht.
00:14Wir haben hier eine Logarithmengleichung, bei der die unbekannte Größe x in drei verschiedenen Numerie vorkommt.
00:22Beginnen wir mit der Definitionsmenge.
00:24Der erste Numerus muss größer als 0 sein, also muss 10x plus 24 größer als 0 sein.
00:33Um diese Ungleichung nach x aufzulösen, subtrahieren wir als erstes 24 und dividieren anschließend durch 10.
00:43Wir sehen, dass x größer als minus 2,4 sein muss.
00:48Auch der zweite Numerus, x minus 84, muss größer als 0 sein.
00:54Wir addieren 84, um nach x aufzulösen.
00:59x muss also auch größer als 84 sein.
01:03Und der dritte Numerus setzen wir auch größer 0.
01:07Wir addieren 36, also muss x größer als 36 sein.
01:14Für die Definitionsmenge der ganzen Gleichung müssen alle Bedingungen erfüllt sein.
01:18Das können wir zum Beispiel mit dem Zahlenstrahl herausfinden, indem wir jede Ungleichung darauf markieren.
01:27Der erste Teil, größer als minus 2,4, sieht so aus.
01:33Größer als 84 ist dieser Bereich und größer als 36 ist dieser Bereich.
01:39Wir sehen also, dass ab 84 alle Bereiche abgedeckt sind.
01:46Somit ist die Definitionsmenge alle reellen Zahlen, die größer als 84 sind.
01:52Kommen wir zur Gleichung selbst.
01:54Auf der linken Seite der Gleichung haben wir eine Differenz von zwei Logarithmen mit der gleichen Basis.
02:02Nach den Logarithmengesetzen können wir diese beiden Logarithmen zusammenfassen,
02:07indem wir den Logarithmus vom einen Numerus, also 10x, plus 24, geteilt durch den anderen Numerus, also x, minus 84, nehmen.
02:17Die rechte Seite übernehmen wir unverändert.
02:22Auf beiden Seiten haben wir jetzt je einen Logarithmus mit der gleichen Basis.
02:28Das heißt, wir können die Numeri gleichsetzen.
02:32Wir erhalten eine Bruchgleichung.
02:35Wir multiplizieren mit dem Nenner auf der linken Seite, also mit x, minus 84, und erhalten eine Gleichung, die keine Brüche mehr enthält.
02:44Die Klammern auf der rechten Seite können wir ausmultiplizieren.
02:50Wir erhalten eine quadratische Gleichung.
02:53Nun bringen wir die Gleichung in die allgemeine Form, indem wir 10x und 24 subtrahieren.
03:02Jetzt können wir die quadratische Auflösungsformel verwenden, um die Lösungen zu bestimmen.
03:08Für a setzen wir 1 ein, für b, minus 130, und für c, 3000.
03:15Die erste Lösung erhalten wir, indem wir beim plus minus Zeichen das minus verwenden.
03:21Wir erhalten 30.
03:24Dieser Wert ist nicht im Definitionsbereich.
03:28Die zweite Lösung erhalten wir, indem wir beim plus minus Zeichen das plus verwenden.
03:34Der Wert 100 ist im Definitionsbereich.
03:38Somit ist 100 gerade die Lösungsmenge.
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