Logarithmusgleichung

Mathematik - EducaNova

In diesem Video lösen wir eine einfache Logarithmusgleichung.  Willkommen auf dem Kanal von EducaNova. Hier findet ihr viele Lernvideos zu Themen aus der Mathematik und der Physik auf der Sekundarstufe 2.

Transcript

00:00Manche Logarithmengleichungen kann man lösen, indem man die Numerie miteinander vergleicht.

00:06In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel an, wie man dabei vorgeht.

00:14Wir haben hier eine Logarithmengleichung, bei der die unbekannte Größe x in drei verschiedenen Numerie vorkommt.

00:22Beginnen wir mit der Definitionsmenge.

00:24Der erste Numerus muss größer als 0 sein, also muss 10x plus 24 größer als 0 sein.

00:33Um diese Ungleichung nach x aufzulösen, subtrahieren wir als erstes 24 und dividieren anschließend durch 10.

00:43Wir sehen, dass x größer als minus 2,4 sein muss.

00:48Auch der zweite Numerus, x minus 84, muss größer als 0 sein.

00:54Wir addieren 84, um nach x aufzulösen.

00:59x muss also auch größer als 84 sein.

01:03Und der dritte Numerus setzen wir auch größer 0.

01:07Wir addieren 36, also muss x größer als 36 sein.

01:14Für die Definitionsmenge der ganzen Gleichung müssen alle Bedingungen erfüllt sein.

01:18Das können wir zum Beispiel mit dem Zahlenstrahl herausfinden, indem wir jede Ungleichung darauf markieren.

01:27Der erste Teil, größer als minus 2,4, sieht so aus.

01:33Größer als 84 ist dieser Bereich und größer als 36 ist dieser Bereich.

01:39Wir sehen also, dass ab 84 alle Bereiche abgedeckt sind.

01:46Somit ist die Definitionsmenge alle reellen Zahlen, die größer als 84 sind.

01:52Kommen wir zur Gleichung selbst.

01:54Auf der linken Seite der Gleichung haben wir eine Differenz von zwei Logarithmen mit der gleichen Basis.

02:02Nach den Logarithmengesetzen können wir diese beiden Logarithmen zusammenfassen,

02:07indem wir den Logarithmus vom einen Numerus, also 10x, plus 24, geteilt durch den anderen Numerus, also x, minus 84, nehmen.

02:17Die rechte Seite übernehmen wir unverändert.

02:22Auf beiden Seiten haben wir jetzt je einen Logarithmus mit der gleichen Basis.

02:28Das heißt, wir können die Numeri gleichsetzen.

02:32Wir erhalten eine Bruchgleichung.

02:35Wir multiplizieren mit dem Nenner auf der linken Seite, also mit x, minus 84, und erhalten eine Gleichung, die keine Brüche mehr enthält.

02:44Die Klammern auf der rechten Seite können wir ausmultiplizieren.

02:50Wir erhalten eine quadratische Gleichung.

02:53Nun bringen wir die Gleichung in die allgemeine Form, indem wir 10x und 24 subtrahieren.

03:02Jetzt können wir die quadratische Auflösungsformel verwenden, um die Lösungen zu bestimmen.

03:08Für a setzen wir 1 ein, für b, minus 130, und für c, 3000.

03:15Die erste Lösung erhalten wir, indem wir beim plus minus Zeichen das minus verwenden.

03:21Wir erhalten 30.

03:24Dieser Wert ist nicht im Definitionsbereich.

03:28Die zweite Lösung erhalten wir, indem wir beim plus minus Zeichen das plus verwenden.

03:34Der Wert 100 ist im Definitionsbereich.

03:38Somit ist 100 gerade die Lösungsmenge.

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