00:00Manche Logarithmengleichungen kann man mithilfe der Logarithmus-Definition entlogarithmieren.
00:06In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel an, wie man dabei vorgeht.
00:14Wir haben hier eine einfache Logarithmengleichung, bei der die unbekannte Größe x im Numerus vorkommt.
00:21Beginnen wir mit der Definitionsmenge.
00:24Der erste Numerus muss größer als 0 sein, also muss x hoch 3 größer als 0 sein.
00:32Das ist der Fall, wenn x größer als 0 ist.
00:37Auch der zweite Numerus, x hoch 2, muss größer als 0 sein.
00:42Das ist der Fall, wenn x nicht gleich 0 ist.
00:47Für die Definitionsmenge der ganzen Gleichung müssen alle Bedingungen erfüllt sein.
00:51Das ist der Fall für alle Werte von x, die größer als 0 sind.
00:57Also ist die Definitionsmenge alle reellen Zahlen, die größer als 0 sind.
01:04Kommen wir zur Gleichung selbst.
01:07Nach den Logarithmengesetzen können Vorfaktoren als Exponenten in den Logarithmus genommen werden.
01:13Also können wir die 2 vor dem zweiten Logarithmus in den Numerus nehmen.
01:19Bei x hoch 2 hoch 2 können die beiden Exponenten nach den Potenzgesetzen miteinander multipliziert werden.
01:28Also gibt das x hoch 4.
01:31Nun haben wir eine Summe von zwei Logarithmen mit gleicher Basis.
01:35Nach den Logarithmengesetzen können wir diese zusammenfassen, als den Logarithmus vom Produkt der beiden Numeri.
01:44Nach den Potenzgesetzen können wir x hoch 3 mal x hoch 4 schreiben, als x hoch 7, weil man bei gleichen Basen die Exponenten addieren kann.
01:54Diese Gleichung können wir auch als Potenzgleichung schreiben.
02:00Dabei ist die Basis des Logarithmus neu, die Basis der Potenz, 7, wird zum Exponenten, und der Numerus, steht auf der anderen Seite der Gleichung.
02:11Wenn der Exponent gleich ist, muss auch die Basis gleich sein.
02:16Also ist x gleich 2.
02:19Dieser Wert ist in der Definitionsmenge.
02:21Somit ist 2 gerade die Lösungsmenge.
02:26Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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