00:00Logarithmen können mithilfe der Logarithmengesetze zusammengefasst werden.
00:05In diesem Video schauen wir uns an, wie man dabei vorgeht.
00:12Schauen wir uns das Ganze an ein paar Beispielen an.
00:16Bei dieser Aufgabe sollen wir die Logarithmen zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen.
00:23Alle Logarithmen haben die gleiche Basis, nämlich 3.
00:26Dies ist eine Voraussetzung dafür, dass wir sie zusammenfassen können.
00:32Als erstes schreiben wir den Logarithmus mit einer Klammer, die groß genug ist.
00:39Der Numerus beim ersten Logarithmus ist 15, also schreiben wir 15 in den Zähler innerhalb der Klammer.
00:47Beim zweiten Logarithmus steht ein Minus davor, also schreiben wir den Numerus, in dem Fall 5, in den Nenner.
00:53Beim letzten Logarithmus haben wir wieder ein Plus davor, also multiplizieren wir einen Neuntel an.
01:01Als nächstes kürzen wir innerhalb der Klammer.
01:0515 mit 5, gekürzt, gibt 3.
01:09Die 3 mit 9, gekürzt, gibt im Nenner eine 3.
01:13Also gibt das den Logarithmus von einem Drittel zur Basis 3.
01:19Der Logarithmus von einem Drittel zur Basis 3, gibt ausgerechnet Minus 1.
01:26Beim nächsten Beispiel haben wir vor den einzelnen Logarithmen jeweils zusätzlich einen Faktor.
01:32Diese können wir nach dem dritten Logarithmengesetz als Exponenten im Logarithmus schreiben.
01:403 mal den 10er Logarithmus von a, gibt den 10er Logarithmus von a, hoch 3.
01:462 mal den 10er Logarithmus von a, gibt den 10er Logarithmus von a, hoch 2.
01:52Und den 10er Logarithmus von 1, geteilt durch a, gibt den 10er Logarithmus von a, hoch minus 1.
02:01Wiederum schreiben wir alles in einen einzigen 10er Logarithmus.
02:06Beim ersten Summanden steht davor ein Plus, also kommt a, hoch 3, in den Zähler.
02:12Beim zweiten steht ein Minus, also kommt a, hoch 2, in den Nenner.
02:17Und den letzten Numerus schreiben wir wieder in den Zähler, weil davor ein Plus steht.
02:24Jetzt können wir alle Potenzen zusammenfassen, weil sie alle die gleiche Basis haben.
02:30Wir addieren alle Exponenten im Zähler, also 3, plus minus 1, und subtrahieren den Exponenten im Nenner, also minus 2.
02:40Das gibt insgesamt a, hoch 0.
02:43a, hoch 0 ist 1.
02:45Und der Logarithmus von 1 ist 0.
02:50Beim letzten Beispiel haben wir wieder alles 10er Logarithmen.
02:55Der erste Numerus, x, plus 5, schreiben wir in den Zähler.
03:00Beim mittleren Summanden haben wir den Faktor 2, den wir als Exponenten im Logarithmus schreiben können.
03:07Die Wurzel aus 5x, können wir auch schreiben als, 5x, hoch 1 Zweite.
03:12Vor dem letzten Logarithmus steht ein Minus, also schreiben wir den Numerus in den Nenner.
03:19Fassen wir das Ganze etwas zusammen.
03:23x, plus 5, lassen wir so stehen.
03:27Hoch 1 Zweite, hoch 2, hebt sich auf, also gibt das einfach, 5x.
03:31Im Nenner können wir eine 5 ausklammern, also gibt das 5, mal Klammer 5, plus x.
03:39x, plus 5, können wir kürzen.
03:43Ebenso 5.
03:45Also ist das Schlussresultat, der 10er Logarithmus von x.
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03:56Ebenso 5.
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