00:00Quadratische Gleichungen kann man mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung lösen.
00:05In diesem Video schauen wir uns an ein paar Beispielen an, wie man dabei vorgeht.
00:13Beginnen wir mit ein paar theoretischen Grundlagen.
00:17Ein Produkt ist gleich 0, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist.
00:23Wenn wir zum Beispiel 100 mit 0 multiplizieren, ist das Produkt auch 0.
00:28Also bedeutet das auch, dass wenn zum Beispiel bei der Gleichung x plus 2 mal x minus 3 gleich 0 einer der Faktoren 0 ist, die Gleichung erfüllt ist.
00:41Dabei ist wichtig, dass auf einer Seite der Gleichung 0 steht.
00:46Der erste Faktor ist 0, wenn x plus 2 0 ist.
00:51Wir subtrahieren 2 und erhalten x gleich minus 2.
00:55Wenn x, also minus 2, ist, ist der erste Faktor 0, also ist das ganze Produkt auch 0.
01:04Eine zweite Lösung erhalten wir, wenn der zweite Faktor, also x, minus 3, gleich 0 ist.
01:11Wir addieren 3 und erhalten als zweite Lösung 3.
01:16Somit besteht die Lösungsmenge dieser Gleichung aus minus 2 und 3.
01:20Schauen wir uns das Ganze an ein paar Beispielen an.
01:26Als erstes müssen wir die linke Seite in möglichst viele Faktoren zerlegen.
01:32Sowohl 3x² als auch 6x sind durch 3x teilbar, also klammern wir 3x aus.
01:40Wir setzen den ersten Faktor, also 3x, gleich 0.
01:43Dann dividieren wir diese Gleichung durch 3.
01:48Also ist die erste Lösung, x, gleich 0.
01:52Die zweite Lösung erhalten wir, wenn wir den zweiten Faktor, also x, minus 2, gleich 0 setzen.
01:59Wir addieren 2 und sehen, dass die zweite Lösung 2 ist.
02:04Die Lösungsmenge besteht also aus den Elementen 0 und 2.
02:10Machen wir weiter mit dem zweiten Beispiel.
02:14Hier können wir mithilfe des Zweiklammeransatzes die linke Seite faktorisieren.
02:20Ein Video, in dem der Zweiklammeransatz genauer beschrieben wird, findet ihr unter dem Link 1 in der Beschreibung.
02:28Wir erhalten x, plus 1, mal x, minus 6, gleich 0.
02:32Der erste Faktor ist 0, wenn x, plus 1, gleich 0, ist, also ist x, gleich minus 1.
02:41Für die zweite Lösung setzen wir x, minus 6, gleich 0, also ist x, gleich 6.
02:49Die Lösungsmenge besteht also aus den Elementen, minus 1, und 6.
02:55Kommen wir zum dritten Beispiel.
02:56Auch bei dieser Gleichung können wir die linke Seite mit dem Zweiklammeransatz faktorisieren.
03:04Das gibt also 2x, plus 3, mal x, minus 2, gleich 0.
03:10Wir setzen den ersten Faktor wieder gleich 0.
03:14Wir subtrahieren 3, dividieren durch 2, und erhalten für x, minus 1,5.
03:20Dann setzen wir den zweiten Faktor 0.
03:24Wir addieren 2, und erhalten für x, 2.
03:28Die Lösungsmenge besteht nun aus den Elementen, minus 1,5, und 2.
03:35Machen wir weiter mit dem nächsten Beispiel.
03:37Auch bei dieser Gleichung können wir die linke Seite mit dem Zweiklammeransatz faktorisieren.
03:45Das gibt 2x, minus 3, mal 3x, minus 5, gleich 0.
03:51Wir setzen wieder den ersten Faktor gleich 0.
03:55Plus 3, gerechnet, und durch 2, geteilt, gibt das für x, 1,5.
04:01Dann setzen wir wieder den zweiten Faktor gleich 0.
04:04Plus 5, und geteilt durch 3, gibt das 1,6 periodisch, oder, als Bruch, 5 Drittel.
04:13Die Lösungsmenge besteht also aus, 1,5, und 1,6 periodisch.
04:20Kommen wir zu einem leicht komplexeren Beispiel.
04:24Diese Gleichung müssen wir zuerst in die allgemeine Form bringen.
04:29Dazu dividieren wir sie als erstes durch 2.
04:31Wir erhalten m, plus 3, hoch 2, minus 9, gleich 0.
04:38Dann multiplizieren wir die Klammer aus.
04:42Es handelt sich hierbei um eine erste binomische Formel.
04:46Ein Video, in dem die binomischen Formeln genauer beschrieben werden, findet ihr unter dem Link 2, in der Beschreibung.
04:53Also gibt die Klammer ausgerechnet, m², plus 6m, plus 9, plus 9, minus 9, heben sich auf.
05:05Also lautet die Gleichung neu, m², plus 6m, gleich 0.
05:10Jetzt können wir die linke Seite der Gleichung faktorisieren, indem wir m ausklammern.
05:15Der erste Faktor ist m, also ist die erste Lösung gerade 0.
05:22Für die zweite Lösung setzen wir m, plus 6, gleich 0.
05:27Wir subtrahieren 6 und erhalten für die zweite Lösung, minus 6.
05:33Somit beträgt die Lösungsmenge, minus 6, und 0.
05:36Als letztes Beispiel haben wir noch eine Gleichung, die m, als Formvariable, beziehungsweise als Parameter, hat.
05:46Die linke Seite dieser Gleichung können wir wieder mit dem Zweiklammeransatz faktorisieren.
05:53Das gibt 2x, minus m, mal x, minus m, gleich 0.
05:58Wir setzen wieder die erste Klammer gleich 0.
06:01Wir addieren m und dividieren durch 2 und erhalten als erste Lösung 0,5m.
06:08Die zweite Klammer 0, gesetzt, und plus m, gerechnet, gibt es für die zweite Lösung, x, gleich m.
06:17Somit ist die Lösungsmenge 0,5m und m.
06:22Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
06:31Das bearbeitet, um auf und auf, dann in dieser Playlist dauert einen Techn Flagst.
06:44Bis zum nächsten Mal.
06:44Bis zum nächsten Mal.
06:49Sst.
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