00:00Den Wertverlust eines Autos kann man als Exponentialfunktion darstellen.
00:05In diesem Video schauen wir uns an, wie man dabei vorgeht.
00:12Wir kaufen ein Auto für 20.000 Franken.
00:16Jedes Jahr nimmt der Wert um 20% ab.
00:20In der ersten Aufgabenstellung suchen wir die Funktion, die diesen Wertverlust beschreibt.
00:25Der Startwert, K0, ist 20.000 Franken, der Zinssatz, 20%, n sei die Anzahl Jahre, und Kn ist der Wert nach n, Jahren.
00:38Der Wachstumsfaktor ist 100%, minus den Wertverlust, geteilt durch 100%.
00:44Man kann den Wachstumsfaktor auch darstellen, als 1, minus den Prozentsatz, geteilt durch 100.
00:51Wenn wir die Funktion in der Form, K0, mal Q, hoch n, haben wollen, setzen wir für K0, die 20.000 ein, für Q, 1, minus diese 20%, hoch n.
01:05Oder, kurz geschrieben, ist der Wachstumsfaktor 0,8, denn der Wert des Autos ist nach einem Jahr, 20% weniger, also noch 80%.
01:15In der nächsten Aufgabe ist gefragt, wie viel der Wert des Autos nach 5 Jahren beträgt.
01:23Wir setzen für n, den Wert 5 ein, und erhalten ausgerechnet, 6553 Franken 60.
01:31Als nächstes ist gefragt, wie lange dauert es, bis das Auto nur noch halb so viel Wert hat?
01:39Wir setzen die Funktionsgleichung gleich 10.000 Franken, weil das die Hälfte von 20.000 ist.
01:47Wir dividieren die Gleichung durch 20.000, und logarithmieren die Gleichung auf beiden Seiten.
01:54Nach den Logarithmengesetzen können wir den Exponenten n, vor den Logarithmus nehmen.
01:59Geteilt durch den Logarithmus von 0,8, gibt das ungefähr 3,11.
02:07Also ist der Wert nach 3,11 Jahren nur noch halb so groß.
02:13Als letztes stellen wir den Wert des Autos in einem Diagramm dar.
02:18Dazu erstellen wir als erstes eine Wertetabelle mit den Spalten n und kn.
02:24Für n setzen wir 0, 2, 4, 6 und 8 ein.
02:29Wenn wir diese Werte in die Funktion einsetzen, erhalten wir diese Werte.
02:34Dann zeichnen wir die Punkte im Koordinatensystem ein und verbinden sie.
02:40Es ist deutlich zu erkennen, dass der Wert zu Beginn am schnellsten abnimmt
02:45und mit zunehmendem Alter der absolute Wertverlust immer kleiner wird.
02:49Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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