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Mathematik - EducaNova
  • vor 5 Monaten
Algebra: Wurzel als Potenz mit gebrochenen Exponenten

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Transkript
00:00Wurzeln können als Potenzen mit gebrochenem Exponenten geschrieben werden.
00:05In diesem Video schauen wir uns an, warum das so ist, und schauen uns anschließend an ein paar Beispielen an, wie man dabei vorgeht.
00:16Beginnen wir mit ein paar theoretischen Grundlagen.
00:20Nehmen wir den Ausdruck 3 hoch 1 zweitel hoch 2.
00:24Nach den Potenzgesetzen kann man in diesem Fall die beiden Exponenten miteinander multiplizieren, also gibt das 3 hoch 1 zweitel mal 2.
00:35Der Exponent ausgerechnet gibt 1.
00:39Und 3 hoch 1 ist das gleiche wie 3.
00:43Nehmen wir weiter die Wurzel von 3 hoch 2.
00:45Wenn wir von einer Zahl die Wurzel ziehen, und sie anschließend wieder quadrieren, erhalten wir die ursprüngliche Zahl, hier also 3.
00:56Beide Ausdrücke geben vereinfacht 3, also müssen die ursprünglichen Ausdrücke gleich sein.
01:02Weil beide hoch 2 sind, müssen auch die beiden Basen gleich sein.
01:06Also gilt, 3 hoch 1 zweitel ist das gleiche, wie die Wurzel von 3.
01:13Überprüfen wir das mit einem zweiten Ausdruck.
01:1727 hoch 3 viertel hoch 4.
01:21Wir können wieder die Exponenten miteinander multiplizieren, also 3 viertel mal 4, also ist der Exponent 3.
01:30Weiter nehmen wir die vierte Wurzel von 27 hoch 3, und das Ganze hoch 4.
01:36Wenn wir von einer Zahl die vierte Wurzel ziehen, und anschließend hoch 4 rechnen, gibt es wieder diese Zahl.
01:44Wir haben wieder zweimal das gleiche erhalten, also müssen die beiden Basen das gleiche sein.
01:50Also ist 27 hoch 3 viertel das gleiche, wie die vierte Wurzel von 27 hoch 3.
01:58Somit gilt allgemein, die N-T-Wurzel aus A hoch M ist das gleiche, wie A hoch M über N.
02:06Wurzeln lassen sich also als Potenzen schreiben, was bedeutet, dass die Potenzgesetze auch für Wurzeln gelten.
02:14Schauen wir uns diese Umschreibung an ein paar Beispielen an.
02:19Als erstes schreiben wir die fünfte Wurzel von x hoch 2 als Potenz.
02:23Die fünfte Wurzel ist das gleiche wie hoch 1 Fünftel, also ist die fünfte Wurzel von x hoch 2 das gleiche, wie x hoch 2 Fünftel.
02:35Wenn kein Wurzelexponent steht, dann handelt es sich um eine zweite Wurzel, also können wir diese Wurzel als hoch 1 Zweite schreiben.
02:43Nach den Potenzgesetzen kann jeder Faktor in den Klammern einzeln hoch die Exponenten gerechnet werden.
02:52Ausgerechnet gibt das A hoch 3 Zweite mal B hoch 5 Zweite.
02:58Auch wenn eine Wurzel im Nenner steht, können wir aus dieser eine Potenz machen.
03:02Die dritte Wurzel bedeutet hoch 1 Drittel, also gibt das im Nenner u hoch 4 Drittel.
03:10Nach den Potenzgesetzen gilt, dass wenn wir eine Potenz vom Nenner in den Zähler nehmen, das Vorzeichen des Exponenten wechselt.
03:19Also gibt das u hoch minus 4 Drittel.
03:23Hier haben wir wieder eine Wurzel ohne Wurzelexponenten, also bedeutet das wieder eine zweite Wurzel.
03:29Also gibt das die Klammer hoch 1 Zweite.
03:34Diesen Ausdruck können wir nicht weiter vereinfachen, weil es kein Potenzgesetz für Summen gibt.
03:41Bei den nächsten paar Beispielen machen wir gerade das Umgekehrte, wir verwandeln Potenzen in Wurzeltherme um.
03:49Der Exponent von 5 hoch 2 Drittel hat im Nenner eine 3, also ist es eine dritte Wurzel.
03:56Also gibt das die dritte Wurzel von 5 hoch 2.
03:59Eine Klammer hoch 1 Zweite heißt, dass jeder Faktor einzeln hoch 1 Zweite gerechnet wird.
04:08Also gibt das ausgerechnet m hoch 4 Zweite mal n hoch 3 Zweite.
04:144 Zweite kürzt sich zu 2, also gibt das m hoch 2, und bei n hoch 3 Zweite nehmen wir den Zweite als zweite Wurzel,
04:23also gibt das die Wurzel aus n hoch 3.
04:27Manchmal ist der Exponent eine Dezimalzahl.
04:31Wir verwandeln die Dezimalzahl in einen Bruch, das ist ein Fünftel.
04:36Also gibt das 243 hoch 1 Fünftel.
04:41Als Wurzel geschrieben, ist das die fünfte Wurzel von 243.
04:46Ausgerechnet gibt das 3.
04:50In diesem Beispiel haben wir einen negativen Exponenten.
04:55Wenn wir einen negativen Exponenten haben, können wir 1 durch diese Potenz schreiben und wechseln das Vorzeichen des Exponenten,
05:03also gibt das im Nenner a hoch 1 Zweite.
05:06hoch 1 Zweite ist das gleiche, wie die Wurzel, also gibt das 1, geteilt durch die Wurzel von a.
05:15Bei den letzten paar Beispielen gibt es darum, dass ihr die Wurzeln mit eurem Taschenrechner berechnet.
05:22Bei diesem Beispiel gibt die Wurzel 113,5.
05:27Bei diesem Beispiel haben wir eine dritte Wurzel, die mit einer separaten Taste berechnet wird.
05:33Wenn ihr als Ergebnis 15 erhalten habt, habt ihr die richtige Taste erwischt.
05:40Für die fünfte Wurzel gibt es im Normalfall keine separate Taste, sondern eine für beliebige Wurzeln.
05:48Streng mathematisch ist die Wurzel aus einer negativen Zahl, in den reellen Zahlen, nicht definiert.
05:56Für ungerade Exponenten liefert der Taschenrechner trotzdem ein Resultat.
06:00In diesem Fall liefert er minus 6.
06:05Beim letzten Beispiel müsst ihr aufpassen, denn das Minus steht vor der Wurzel.
06:11Zuerst berechnen wir die achte Wurzel aus 100, mal 10 hoch 6, und setzen anschließend das Minus davor.
06:19Das gibt minus 10.
06:22Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
06:27Wurzel aus 100, nicht die
06:32Aber das große Musik
06:34inexper GH6
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