00:00Gewisse Exponentialgleichungen können mit einem Exponentenvergleich gelöst werden.
00:06In diesem Video lösen wir eine Exponentialgleichung einmal mit Logarithmieren und einmal mit einem Exponentenvergleich.
00:16Wir haben hier eine Exponentialgleichung in der Grundform.
00:21Wir lösen die Aufgabe zuerst mit Logarithmieren und anschließen mit einem Exponentenvergleich.
00:27So können wir beide Verfahren miteinander vergleichen.
00:32Als erstes bestimmen wir die Definitionsmenge.
00:36x kommt nur im Exponenten in linearer Form vor.
00:41Also gibt es für x keine Einschränkungen.
00:45Somit entspricht die Definitionsmenge der Grundmenge.
00:49Das sind alle reellen Zahlen.
00:52Die gesuchte Größe x befindet sich im Exponenten.
00:55Die Gleichung kann direkt logarithmiert werden, weil keine Summen vorkommen.
01:02Achtet darauf, dass ihr jeweils den Logarithmus von der ganzen linken, bzw. rechten Seite der Gleichung nehmt.
01:10Nach den Logarithmengesetzen können die Exponenten als Faktor vor den Logarithmus genommen werden.
01:16Auf der linken Seite der Gleichung gibt das 3x, minus 2, mal den Logarithmus von 4, und auf der rechten Seite gibt das x, plus 1, mal den Logarithmus von 16.
01:28Als nächstes multiplizieren wir die Klammern vor den Logarithmen aus.
01:35Auf der linken Seite erhalten wir 3x, mal den Logarithmus von 4, minus 2, mal den Logarithmus von 4, und auf der rechten Seite erhalten wir x, mal den Logarithmus von 16, plus 1, mal den Logarithmus von 16.
01:49Als nächstes wollen wir alle Summanden, die x, enthalten, auf die linke Seite der Gleichung bringen, und alle Summanden, die x, nicht enthalten, auf die andere Seite.
02:01Das erreichen wir, indem wir x, mal den Logarithmus von 16, subtrahieren, sowie 2, mal den Logarithmus von 4, addieren.
02:10Jetzt können wir auf der linken Seite x, ausklammern.
02:16Die rechte Seite lassen wir vorerst so stehen.
02:20Wir dividieren durch den Faktor neben x, also durch 3, mal den Logarithmus von 4, minus den Logarithmus von 16, damit x, alleine auf einer Seite der Gleichung steht.
02:32Wir können nun die Werte in den Taschenrechner eingeben, um die Lösung zu bestimmen.
02:38Wir erhalten den Wert 4.
02:40Dieser Wert ist in der Definitionsmenge enthalten, und ist somit gerade die Lösungsmenge.
02:47Eine Probe ist nicht nötig, weil keine nichtäquivalente Umformungen verwendet wurden.
02:54Nun lösen wir dieselbe Gleichung mit dem Exponentenvergleich.
02:59Ihr werdet sehen, dass der Lösungsweg deutlich kürzer ist.
03:04Die Definitionsmenge wird auf die gleiche Weise bestimmt.
03:07Damit wir einen Exponentenvergleich durchführen können, brauchen wir auf beiden Seiten der Gleichung eine Potenz, die die gleiche Basis haben.
03:17Die linke Seite der Gleichung übernehmen wir unverändert.
03:2116 ist eine Potenz von 4, also können wir die Basis, anstelle von 16, als 4, hoch 2, schreiben.
03:31Nach den Potenzgesetzen können die beiden Exponenten auf der rechten Seite, also 2 und x, plus 1, miteinander multipliziert werden.
03:40Also ist der neue Exponent, 2x, plus 2.
03:46Ein Video, in dem dieses Potenzgesetz genauer beschrieben wird, findet ihr unter dem Link 1 in der Beschreibung.
03:54Wenn in einer Gleichung die Basis auf beiden Seiten gleich ist, müssen auch die Exponenten gleich sein.
04:00Das heißt, wir können die Exponenten gleichsetzen.
04:05In diesem Fall erhalten wir eine einfache lineare Gleichung.
04:09Wir lösen die Gleichung nach x auf, indem wir zuerst 2x subtrahieren und anschließend noch 2 addieren.
04:18Also erhalten wir für x den Wert 4.
04:22Dieser Wert ist in der Definitionsmenge enthalten und ist somit gerade die Lösungsmenge.
04:27Eine Probe ist nicht nötig, weil keine nicht-äquivalente Umformungen verwendet wurden.
04:35Ein Vergleich der beiden Methoden zeigt, dass wir in beiden Fällen die gleiche Definitions- und Lösungsmenge erhalten.
04:43Der Lösungsweg ist aber beim Exponentenvergleich deutlich kürzer und wir haben auch keinen Taschenrechner gebraucht.
04:50Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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