00:00Manche Gleichungssysteme lassen sich mit der Substitutionsmethode lösen.
00:05In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel an, wie man dabei vorgeht.
00:13Wir haben hier ein Gleichungssystem, das sich mit der Substitutionsmethode lösen lässt.
00:19Damit es etwas übersichtlicher ist, formen wir es zuerst etwas um.
00:24Beim ersten Bruch haben wir eine 3 im Zähler.
00:27Diese 3 nehmen wir als Vorfaktor vor den Bruch, also haben wir 3, mal einen Bruch, der im Zähler eine 1 hat.
00:37Der zweite Zähler ist eine 5, die wir auch als Faktor nach vorne nehmen.
00:42Die rechte Seite der Gleichung übernehmen wir unverändert.
00:46Während wir in der ersten Gleichung im ersten Nenner, 4, minus x, haben, haben wir in der zweiten Gleichung an dieser Stelle, x, minus 4.
00:55Wir klammern ein Minus aus, damit der Nenner, auch 4, minus x, beträgt.
01:03Auch hier nehmen wir die 4 aus dem Zähler vor den Bruch.
01:07Um den letzten Nenner der ersten Gleichung anzupassen, klammern wir eine 3 aus.
01:13Zusammen mit der 20 im Zähler, gibt das einen Vorfaktor von 20 Drittel.
01:18Auch bei der zweiten Gleichung übernehmen wir die rechte Seite unverändert.
01:24Wir haben nun das Gleichungssystem in eine übersichtlichere Form gebracht.
01:30Als nächstes bestimmen wir die Definitionsmenge.
01:34x kommt jeweils im ersten Nenner vor.
01:37Also darf 4, minus x, nicht 0 sein.
01:41Wenn wir x addieren, kommt raus, dass x, nicht 4, sein darf.
01:48Also ist der Definitionsbereich für x, alle reellen Zahlen, ohne 4.
01:53y kommt im jeweiligen zweiten Nenner vor.
01:58Auch hier darf der Nenner nicht 0 sein, also ist y, plus 4, nicht 0.
02:02Wenn wir 4, subtrahieren, kommt raus, dass y, nicht minus 4, sein darf.
02:11Also ist der Definitionsbereich für y, alle reellen Zahlen, ohne minus 4.
02:17Somit ist die Definitionsmenge des Gleichungssystems, r, ohne 4, kreuz r, ohne minus 4.
02:25Kommen wir zum Gleichungssystem selbst.
02:28Bei beiden Gleichungen haben wir den Term 1, geteilt durch 4, minus x.
02:35Wir definieren a, als diesen Ausdruck.
02:39Das gleiche machen wir mit 1, geteilt durch y, plus 4, was wir b, zuordnen.
02:46Wir substituieren, das heißt, ersetzen nun im ursprünglichen Gleichungssystem die entsprechenden Brüche.
02:52Für die erste Gleichung erhalten wir 3a, plus 5b, gleich 4, und bei der zweiten Gleichung gibt es minus 4a, plus 20 Drittel b, gleich minus 8 Drittel.
03:06Wir erhalten also ein deutlich einfacheres Gleichungssystem mit den beiden unbekannten a und b.
03:12Dieses vereinfachte Gleichungssystem können wir jetzt mit einer beliebigen Methode lösen.
03:20Als Beispiel werden wir hier die Additionsmethode verwenden.
03:24Wir nehmen 4 mal die Gleichung 2 und addieren 3 mal die Gleichung 3.
03:2812a, plus minus 12a, hebt sich auf, 20b, plus 20b, gibt 40b, und 16, minus 8, gibt 8.
03:41Geteilt durch 40 erhalten wir für b den Wert 0,2, beziehungsweise 1 Fünftel.
03:48Diesen Wert setzen wir in die Gleichung 2 ein und erhalten die Gleichung 3a, plus 1, gleich 4.
03:55Minus 1 und geteilt durch 3, gibt das für a den Wert 1.
04:03Diese Werte von a und b brauchen wir jetzt, um die Lösungsmenge des ursprünglichen Gleichungssystems zu erhalten.
04:11Dieses Verfahren heißt Rücksubstitution.
04:15Als erstes setzen wir den Wert von a in die Substitutionsgleichung ein.
04:20Wir multiplizieren die Gleichung mit 4, minus x, damit der Bruch verschwindet.
04:27Dann addieren wir x und subtrahieren 1.
04:31Wir erhalten den Wert 3.
04:34Mit b verfahren wir auf die gleiche Weise.
04:36Wir multiplizieren die Gleichung mit y, plus 4, und anschließend mit 5, damit der Bruch verschwindet.
04:45Wir subtrahieren 4 und erhalten für y den Wert 1.
04:513 ist im Definitionsbereich für x enthalten, und 1 erfüllt ebenfalls die Bedingungen für y.
04:58Somit ist die Lösungsmenge 3 zu 1.
05:04Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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