Gleichungssystem Substitutionsverfahren

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Gleichungssystem mit Substitutionsmethode lösen  Willkommen auf dem Kanal von EducaNova. Hier findet ihr viele Lernvideos zu Themen aus der Mathematik und der Physik auf der Sekundarstufe 2.

Transcript

00:00Gewisse Gleichungssysteme lassen sich mit dem Substitutionsverfahren lösen.

00:05In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel an, wie man dabei vorgeht.

00:13Wir haben hier ein Gleichungssystem, das sich mit der Substitutionsmethode lösen lässt.

00:19Damit es etwas übersichtlicher ist, formen wir es zuerst etwas um.

00:24Beim ersten Bruch haben wir eine 7 im Zähler.

00:28Diese 7 nehmen wir als Vorfaktor vor den Bruch, also haben wir 7 mal einen Bruch, der im Zähler eine 1 hat.

00:37Der zweite Zähler ist eine 1, also schreiben wir einfach 1 mal den Bruch.

00:43Die rechte Seite der Gleichung übernehmen wir unverändert.

00:47In der zweiten Gleichung verfahren wir nach dem gleichen System.

00:52Auch hier nehmen wir die 4 aus dem Zähler vor den Bruch.

00:55Und beim letzten Bruch nehmen wir die 2 nach vorne.

01:00Auch bei der zweiten Gleichung übernehmen wir die rechte Seite unverändert.

01:05Wir haben nun das Gleichungssystem in eine übersichtlichere Form gebracht.

01:11Als nächstes bestimmen wir die Definitionsmenge.

01:15x kommt jeweils im ersten Nenner vor.

01:18Also darf x plus 4 nicht 0 sein.

01:23Wenn wir 4 subtrahieren, kommt raus, dass x nicht minus 4 sein darf.

01:30Also ist der Definitionsbereich für x, alle reellen Zahlen, ohne minus 4.

01:34y kommt im jeweiligen zweiten Nenner vor.

01:39Auch hier darf der Nenner nicht 0 sein, also ist 3 minus y nicht 0.

01:46Wenn wir y subtrahieren, kommt raus, dass y nicht 3 sein darf.

01:52Also ist der Definitionsbereich für y, alle reellen Zahlen, ohne 3.

01:59Somit ist die Definitionsmenge des Gleichungssystems, r, ohne minus 4, kreuz r, ohne 3.

02:07Kommen wir zum Gleichungssystem selbst.

02:11Bei beiden Gleichungen haben wir den Term 1, geteilt durch x, plus 4.

02:15Wir definieren a, als diesen Ausdruck.

02:20Das gleiche machen wir mit 1, geteilt durch 3, minus y, was wir b, zuordnen.

02:28Wir substituieren, das heißt, ersetzen nun im ursprünglichen Gleichungssystem die entsprechenden Brüche.

02:35Für die erste Gleichung erhalten wir 7a, minus b, gleich 0, und bei der zweiten Gleichung gibt es 4a, plus 2b, gleich 18 siebte.

02:46Wir erhalten also ein deutlich einfacheres Gleichungssystem mit den beiden unbekannten a und b.

02:53Dieses vereinfachte Gleichungssystem können wir jetzt mit einer beliebigen Methode lösen.

03:00Als Beispiel werden wir hier die Additionsmethode verwenden.

03:05Wir nehmen 7 mal die Gleichung 3 und subtrahieren 4 mal die Gleichung 2.

03:0928a minus 28a hebt sich auf, 14b minus minus 4b gibt 18b und 18 minus 0 gibt 0.

03:22Geteilt durch 18 erhalten wir für b den Wert 1.

03:26Diesen Wert setzen wir in die Gleichung 2 ein und erhalten die Gleichung 7a minus 1 gleich 0.

03:35Plus 1 und geteilt durch 7 gibt das für a den Wert 1 Siebtel.

03:42Diese Werte von a und b brauchen wir jetzt, um die Lösungsmenge des ursprünglichen Gleichungssystems zu erhalten.

03:49Dieses Verfahren heißt Rücksubstitution.

03:54Als erstes setzen wir den Wert von a in die Substitutionsgleichung ein.

04:00Wir multiplizieren die Gleichung mit x, plus 4, und anschließend mit 7, damit die Brüche verschwinden.

04:08Dann subtrahieren wir 4.

04:10Wir erhalten für x den Wert 3.

04:13Mit b verfahren wir auf die gleiche Weise.

04:18Wir multiplizieren die Gleichung mit 3 minus y, damit der Bruch verschwindet.

04:24Wir addieren y und anschließend 1 und erhalten für y den Wert 2.

04:313 ist im Definitionsbereich für x enthalten und 2 erfüllt ebenfalls die Bedingungen für y.

04:40Somit ist die Lösungsmenge 3 zu 2.

04:43Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.

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