00:00Bei manchen Textaufgaben benötigt man quadratische Gleichungen, um sie zu lösen.
00:06In diesem Video lösen wir eine solche Textaufgabe.
00:12Die Aufgabenstellung, die wir uns anschauen, lautet
00:15Bei der Auflösung eines Vereins wird das Vermögen von 2400 Franken an die Mitglieder verteilt.
00:23Da 5 Mitglieder auf ihren Anteil verzichten, bekommen die übrigen je 2 Franken mehr, als ihnen ursprünglich Zustand.
00:33Wie viele Mitglieder waren es ursprünglich, und wie hoch ist der tatsächlich ausbezahlte Anteil?
00:40Wir werden diese Aufgabe auf zwei Arten lösen.
00:44Einmal mit einer Variablen, und einmal mit zwei Variablen.
00:49Bei der ersten Lösungsvariante verwenden wir nur eine Variable.
00:53Wir definieren x als die alte Anzahl Personen.
00:58Somit ist die neue Anzahl Personen x minus 5.
01:03Weiter brauchen wir für die Vorstellung, dass die Differenz vom neuen zum alten Anteil die 2 Franken ist.
01:11Also ist der neue Anteil minus der alte Anteil gleich 2.
01:16Der Anteil berechnet sich aus dem Gesamtbetrag durch die Mitgliederzahl.
01:20Also ist der neue Anteil, 2400, geteilt durch x, minus 5, und der neue Anteil ist 2400, geteilt durch x.
01:32Der Betrag bleibt gleich.
01:33Als nächstes multiplizieren wir die Gleichung mit dem KGV der Nenner, das ist x, mal x, minus 5.
01:43Das gibt beim ersten Bruch, 2400, mal x, beim zweiten Bruch gibt das, 2400, mal x, minus 5, und auf der rechten Seite ist es einfach zweimal das KGV.
01:55Dann rechnen wir die Klammern aus.
02:00Die 2400x übernehmen wir unverändert.
02:04Dann, die Klammer ausgerechnet, gibt 2400x, plus 12000.
02:11Auf der rechten Seite erhalten wir 2x², minus 10x.
02:15Bringen wir die Gleichung in die Allgemeinform, indem wir die rechte Seite subtrahieren.
02:23Durch die Division mit minus 2, können wir die Gleichung noch vereinfachen.
02:28Jetzt können wir die Werte in die quadratische Auflösungsformel einsetzen.
02:32Dabei ist a, gleich 1, b, ist minus 5, und c, ist minus 6000.
02:40Die Wurzel gibt ausgerechnet 155.
02:45Wenn wir das Plus einsetzen, erhalten wir als erste Lösung 80, und mit dem Minus, erhalten wir für die zweite Lösung, minus 75.
02:55Die Mitgliederzahl muss positiv sein.
02:59Deshalb ist nur 80, die gesuchte Lösung.
03:02Um den tatsächlichen Anteil zu berechnen, dividieren wir den Gesamtbetrag durch die neue Mitgliederzahl.
03:11Also erhält jedes Mitglied 32 Franken.
03:15Bei der zweiten Lösungsvariante verwenden wir zwei Variablen.
03:20x sei die alte Anzahl Personen und y sei der alte Anteil.
03:25Entsprechend ist die neue Anteil Personen x minus 5, der neue Anteil y, plus 2 Franken.
03:34Das Produkt von Anzahl und Anteil muss dem Gesamtbetrag entsprechen.
03:39Also ist die alte Anzahl mal der alte Anteil gleich 2400, und die neue Anzahl mal der neue Anteil ist ebenfalls gleich 2400.
03:52Eine erste Gleichung erhalten wir, wenn wir die alte Anzahl mal den alten Anteil mit dem Gesamtbetrag gleichsetzen.
03:59Also gibt das x, minus 5, mal y, plus 2, gleich 2400.
04:03Also gibt das x, minus 5, mal y, plus 2, gleich 2400.
04:08Multiplizieren wir die linke Seite der Gleichung aus.
04:14Und wir addieren 10, damit auf der linken Seite keine Zahl mehr steht.
04:18Wir haben nun zwei Gleichungen, mit denen wir die neue Anteil mit dem Gesamtbetrag sind.
04:23Also gibt das x, minus 5, mal y, plus 2, gleich 2400.
04:26Multiplizieren wir die linke Seite der Gleichung aus.
04:29Und wir addieren 10, damit auf der linken Seite keine Zahl mehr steht.
04:35Wir haben nun zwei Gleichungen, mit zwei Unbekannten.
04:39Setzen wir die erste Gleichung in die zweite ein.
04:43Das heißt, überall dort, wo ein y in der zweiten Gleichung steht, schreiben wir 2400, geteilt durch x, hin.
04:52Dann multiplizieren wir die Gleichung mit x, damit die Brüche verschwinden.
04:58Bringen wir die Gleichung in die Allgemeinform, indem wir 2410x subtrahieren und die linke Seite nach fallender Potenz sortieren.
05:08Dann dividieren wir die Gleichung noch durch 2 und erhalten eine quadratische Gleichung in der Normalform.
05:16Ab hier ist der Lösungsweg identisch mit der ersten Lösungsvariante.
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