00:00Quadratische Funktionen in der allgemeinen Form können durch quadratisches Ergänzen in die Scheitelpunktform gebracht werden.
00:08In diesem Video schauen wir uns an ein paar Beispielen an, wie man dabei vorgeht.
00:16Wir haben hier eine quadratische Funktion in der Allgemeinform.
00:21Diese wollen wir in die Scheitelpunktform bringen und den Scheitelpunkt bestimmen, indem wir quadratisch ergänzen.
00:27Voraussetzung dazu ist, dass der Koeffizient des quadratischen Glieds 1 ist.
00:34Das ist hier der Fall.
00:37Schieben wir die Konstante, in dem Fall 18, etwas nach hinten, damit wir Platz haben.
00:43Wir nehmen den Koeffizienten des linearen Glieds, das ist hier 8.
00:48Dann halbieren wir ihn und nehmen das Quadrat davon, also addieren wir 8 zweitel im Quadrat.
00:54Damit die Funktion ihren Wert behält, wird der gleiche Wert wieder subtrahiert.
01:01Jetzt können wir die Brüche ausrechnen, die geben je 16.
01:06Die ersten drei Summanden sind eine zweite binomische Formel, also gibt das x, minus 4, im Quadrat.
01:14Die letzten zwei Summanden können wir verrechnen, das gibt plus 2.
01:18Wir haben nun die Funktion in der Scheitelpunktform.
01:23Den Scheitelpunkt können wir direkt aus der Funktion herauslesen.
01:28Die x-Koordinate ist die 4, die y-Koordinate ist die 2, also hat der Scheitelpunkt die Koordinaten 4 zu 2.
01:36Weil vor dem x-Quadrat eine positive Zahl steht, also 1, handelt es sich um ein Minimum.
01:45Es hat den Wert 2.
01:47Machen wir weiter mit dem zweiten Beispiel.
01:51Hier ist der Koeffizient des quadratischen Glieds nicht 1, sondern 5.
01:57Wenn dies der Fall ist, klammern wir als erstes den Koeffizienten des quadratischen Glieds aus.
02:02Die quadratische Ergänzung führen wir nun innerhalb der Klammern aus.
02:08Wir rücken wieder die Konstante, also plus 3, etwas nach hinten.
02:13Der Koeffizient des linearen Glieds ist 2, also ist die Hälfte davon, im Quadrat, 1, also addieren wir 1, und subtrahieren sie wieder.
02:24Die ersten drei Summanden sind wieder eine zweite binomische Formel, also gibt das x, minus 1, im Quadrat.
02:32Und die beiden letzten Summanden geben zusammen plus 2.
02:36Damit wir die Scheitelpunktform erhalten, müssen wir noch die äußeren Klammern ausrechnen, also haben wir 5 mal das Binom, plus 5, mal 2, also plus 10.
02:48Den Scheitelpunkt können wir wieder direkt aus der Funktion herauslesen, x ist 1, y ist 10.
02:54Es handelt sich um ein Minimum, weil a, also 5, positiv ist.
03:01Das Minimum hat den Wert 10.
03:05Kommen wir zum letzten Beispiel.
03:08Hier hat der Koeffizient des quadratischen Glieds den Wert minus 1 Drittel.
03:13Auch hier müssen wir als erstes diesen Koeffizienten ausklammern.
03:17Das gibt minus 1 Drittel, mal Klammer x Quadrat, plus 18x, minus 36.
03:25Wir machen die quadratische Ergänzung wieder innerhalb der Klammern, also rücken wir minus 36 etwas nach hinten.
03:32Die Hälfte von 18 ist 9, und im Quadrat 81, also addieren, und subtrahieren wir 81.
03:42Die ersten drei Summanden innerhalb der Klammern bilden wieder ein Binom, in diesem Fall ist es eine erste binomische Formel.
03:51Also erhalten wir x, plus 9, im Quadrat.
03:55Minus 81, minus 36, können wir zu minus 117 verrechnen.
04:02Wir multiplizieren die äußeren Klammern aus, und erhalten die Funktion in der Scheitelpunktform.
04:09Jetzt können wir wieder den Scheitelpunkt herauslesen.
04:13Achtet darauf, dass bei der x-Koordinate das Vorzeichen wechselt, also ist die x-Koordinate minus 9.
04:21Bei der y-Koordinate wechselt das Vorzeichen nicht.
04:26Also hat der Scheitelpunkt die Koordinaten minus 9 zu 39.
04:30Es handelt sich um ein Maximum, weil a, also minus ein Drittel, negativ ist.
04:38Es hat den Wert 39.
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