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Mathematik - EducaNova
  • vor 2 Monaten
Quadratische Funktion: Allgemeinform, Scheitelpunktform und Nullstellenform bestimmen

Willkommen auf dem Kanal von EducaNova. Hier findet ihr viele Lernvideos zu Themen aus der Mathematik und der Physik auf der Sekundarstufe 2.

Kategorie

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Lernen
Transkript
00:00Allgemeinform, Scheitelpunktform und Nullstellenform sind Möglichkeiten,
00:04quadratische Funktionen darzustellen. In diesem Video schauen wir uns an,
00:10wie man zu einem gegebenen Funktionsgrafen diese drei Formen bestimmt.
00:14Wir haben hier den Graphen einer quadratischen Funktion.
00:21Drei Punkte sind auffällig. Das sind die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse und ein weiterer
00:28Punkt. Das heißt, wir haben die beiden Nullstellen, wobei die erste Nullstelle die Koordinaten 1 zu 0
00:36und die zweite die Koordinaten 7 zu 0 hat. Weiter haben wir noch einen Punkt, den nennen wir P,
00:44der die Koordinaten 2,5 zu 2,25 hat. Weil die beiden Nullstellen bekannt sind,
00:52ist es naheliegend, zuerst die Nullstellenform zu bestimmen. Das Ziel ist es, die Parameter x1,
01:00x2 und a herauszufinden. 1 entspricht der einen Nullstelle, also zum Beispiel x1 und 7 entspricht
01:10der anderen Nullstelle, also x2. Um a herauszufinden, können wir P in die Gleichung einsetzen, also ist
01:18die x-Koordinate 2,5 gerade x und die y-Koordinate 2,25 ist f von x. Schreiben wir die Gleichung nun neu mit
01:30den eingesetzten Werten. Die erste Klammer gibt ausgerechnet 1,5 und die zweite gibt minus 4,5,
01:38also gibt das auf der rechten Seite der Gleichung minus 6,75 a. Dann dividieren wir die Gleichung durch
01:46minus 6,75 und erhalten für a den Wert minus 0,3 periodisch. Nun können wir die Nullstellenform
01:55aufschreiben. f von x ist nun a, also minus 0,3 periodisch, mal Klammer x, minus die erste Nullstelle,
02:04also 1, mal das gleiche mit der anderen Nullstelle, also mal Klammer x, minus 7. Um die Allgemeinform zu
02:12erhalten, multiplizieren wir als erstes die beiden Klammern miteinander. x, minus 1, mal x, minus 7,
02:21gibt x², minus 8x, plus 7. Dann multiplizieren wir jeden Summanden mit minus 0,3 periodisch,
02:30das gibt minus 0,3 periodisch x², plus 2,6 periodisch x, minus 2,3 periodisch. Dies ist bereits die
02:41Allgemeinform. Als letztes bestimmen wir noch die Scheitelpunktform. Diese können wir entweder mit
02:49quadratischem Ergänzen der Allgemeinform oder aus der Nullstellenform herleiten. Wir machen hier die
02:56Variante aus der Nullstellenform. Der Funktionsgraf ist achsensymmetrisch bezüglich des Scheitelpunktes,
03:03also liegt der Scheitelpunkt, horizontal gesehen, genau zwischen den beiden Nullstellen. Also ist
03:10die x-Koordinate der Mittelwert der beiden Nullstellen. Wir setzen die beiden Nullstellen,
03:161 und 7, ein, und erhalten für xs, den Wert 4. Für die y-Koordinate setzen wir einfach den x-Wert,
03:25in die Funktionsgleichung ein, also nehmen wir die Nullstellenform, und setzen bei x, den Wert 4,
03:31ein. Ausgerechnet gibt das für ys, den Wert 3. Jetzt können wir die Scheitelpunktform aufstellen.
03:41Der Faktor a, ist der gleiche, wie bei den beiden anderen Formen, also minus 0,3 periodisch.
03:48Dann haben wir die Klammer x, minus die x-Koordinate, im Quadrat, also x, minus 4, im Quadrat.
03:57Zum Schluss noch plus die y-Koordinate, also plus 3. Somit haben wir alle Formen der
04:04quadratischen Funktion aufgestellt. Mit diesem Video geht es weiter,
04:10und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
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